VELOCITAT INSTANTÀNIA: DEFINICIÓ, FÓRMULA, CÀLCUL I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

La velocitat instantània es defineix com el canvi instantani de l'desplaçament en el temps. Es tracta d'un concepte que afegeix una gran precisió a l'estudi de el moviment. I és un avanç respecte a la velocitat mitjana, la informació és molt general.

Per obtenir la velocitat instantània, fixem-nos en un interval de temps tan petit com sigui possible. El càlcul diferencial és l'eina perfecta per expressar aquesta idea matemàticament.

La velocitat instantània dóna compte de la velocitat del mòbil en cada punt del seu recorregut. Font: Pixabay.

El punt de partida és la velocitat mitjana:

A aquest límit se'l coneix amb el nom de derivada. En la notació de càlcul diferencial es té:

Sempre que el moviment es restringeix a una línia recta, es pot prescindir de la notació vectorial.

Càlcul de la velocitat instantània: interpretació geomètrica

La següent figura mostra la interpretació geomètrica del concepte de derivada: es tracta del pendent de la recta tangent a la corba x (t) vs. t en cada punt.

La velocitat instantània en P equival numèricament al pendent de la recta tangent a la corba x vs. t en el punt P. Font: Font: す じ に く シ チ ュ ー.

Pot imaginar-se com obtenir el límit si s'acosta a poc a poc el punt Q a punt P. Arribarà un moment en què tots dos punts estiguin tan a prop, que es no es podrà distingir un a l'altre.

La recta llavors passarà de ser secant (recta que talla en dos punts) a ser tangent (recta que toca a la corba en un sol punt). Per tant, per trobar la velocitat instantània d'una partícula mòbil hauríem de disposar de:

• La gràfica de la posició de la partícula en funció de el temps. Trobant el pendent de la recta tangent a la corba en cada instant de temps, es té la velocitat instantània en cada punt que ocupa la partícula.

O bé:

• La funció de posició de la partícula x (t), la qual es deriva per obtenir la funció velocitat v (t), després s'avalua aquesta funció en cada temps t, a conveniència. Se suposa que la funció de posició és derivable.

Alguns casos especials en el càlcul de la velocitat instantània

-La pendent de la recta tangent a la corba en P és 0. Un pendent nul significa que el mòbil està aturat i que la seva velocitat per descomptat és 0.

-La pendent de la recta tangent a la corba en P és més gran que 0. La velocitat és positiva. En la gràfica de dalt vol dir que el mòbil s'allunya d'O

-La pendent de la recta tangent a la corba en P és menor que 0. La velocitat seria negativa. En la gràfica de dalt no existeixen punts així, però en aquest cas la partícula s'estaria acostant a O.

-La pendent de la recta tangent a la corba és constant en P i tots els altres punts. En aquest cas la gràfica és una línia recta i el mòbil té moviment rectilini uniforme MRU (la seva velocitat és constant).

En general, la funció v (t) també és una funció de el temps, la qual al seu torn pot tenir derivada. I si no fos possible trobar les derivades de les funcions x (t) i v (t)?

En el cas de x (t) podria ser que el pendent -la velocitat instantàniament canviés de signe bruscament. O que passés de zero a un valor diferent immediatament.

En aquest cas la gràfica x (t) presentaria puntes o cantons en els llocs dels canvis bruscos. Molt diferent de el cas representat en la imatge anterior, en el qual la corba x (t) és una corba suau, sense punts, cantonades, discontinuïtats o canvis abruptes.

La veritat és que per a mòbils reals, les corbes suaus són les que millor representen el comportament de l'objecte.

El moviment en general és força complex. Els mòbils poden estar detinguts una estona, accelerar per passar de l'repòs a tenir una velocitat i allunyar-se de el punt de partida, mantenir la velocitat per un temps, després frenar per aturar-se de nou i així per l'estil.

De nou poden arrencar una altra vegada i continuar en el mateix sentit. O bé accionar el retrocés i retornar. A això se li denomina moviment variat en una dimensió.

A continuació alguns exemples de calcular la velocitat instantània aclariran l'ús de les definicions donades:

Exercicis resolts de velocitat instantània

exercici 1

Una partícula es desplaça al llarg d'una línia recta amb la següent llei de moviment:

Totes les unitats estan en Sistema Internacional. trobi:

a) La posició de la partícula en t = 3 segons.

b) La velocitat mitjana en l'interval comprès entre t = 0 sit = 3 s.

c) La rapidesa mitjana en l'interval comprès entre t = 0 sit = 3 s.

d) La rapidesa instantània de la partícula de la pregunta anterior, en t = 1 s.

respostes

a) Per trobar la posició de la partícula s'avalua la llei de moviment (funció de posició) en t = 3:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6.3 - 10 m = -10 m

No hi ha inconvenient en què la posició sigui negativa. El signe (-) indica que la partícula es troba a l'esquerra de l'origen O.

b) En el càlcul de la velocitat mitjana es requereixen les posicions final i inicial de la partícula en els temps indicats: x (3) ix (0). La posició en t = 3 és x (3) i es coneix de l'resultat anterior. La posició en t = 0 segons és x (0) = -10 m.

Com que la posició final és la mateixa que la inicial, immediatament es conclou que la velocitat mitjana és 0.

c) La rapidesa mitjana és la raó entre la distància recorreguda i el temps emprat. Ara bé, la distància és el mòdul o magnitud de l'desplaçament, per tant:

distància = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Cal observar que la distància recorreguda sempre és positiva.

v _{m = 20 m / 3 s = 6.7 m / s}

d) Aquí cal trobar la primera derivada de la posició respecte a el temps. Després s'avalua per t = 1 segon.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4.1 ² + 4.1 + 6 m / s = 6 m / s

exercici 2

A continuació es mostra la gràfica de la posició d'un mòbil en funció de el temps. Trobi la velocitat instantània en t = 2 segons.

Gràfica de la posició versus el temps per a un mòbil. Font: elaboració pròpia.

Resposta

Trace la recta tangent a la corba en t = 2 segons, després calculi el seu pendent, prenent dos punts qualsevol de la recta.

Per calcular la velocitat instantània en el punt assenyalat, traci la recta tangent a aquest punt i trobi el seu pendent. Font: elaboració pròpia.

En aquest exemple prendrem dos punts que es visualitzen fàcilment, les coordenades són (2 s, 10 m) i el tall amb l'eix vertical (0 s, 7 m):

referències

1. Giancoli, D. Physics. Principles with Applications. 6 ^th Edition. Prentice Hall. 22- 25.
2. Resnick, R. (1999). Física. Volum 1. Tercera edició en espanyol. Mèxic. Companyia Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7 ^ma. Edició. Mèxic. Cengage Learning Editors. 23-25.