INDUCCIÓ MAGNÈTICA: FÓRMULES, COM ES CALCULA I EXEMPLES - FÍSICA - 2025

La inducció magnètica o densitat de flux magnètic és una alteració de l'entorn causada per la presència de corrents elèctrics. Elles modifiquen la naturalesa de l'espai que les envolta, creant un camp vectorial.

El vector inducció magnètica, densitat de flux magnètic o simplement camp magnètic B, posseeix tres característiques distintives: una intensitat expressada per un valor numèric, una adreça ia més un sentit donats en cada punt de l'espai. Es ressalta en negreta per distingir-lo de les quantitats purament numèriques o escalars.

Regla de l'polze dret per determinar la direcció i el sentit de el vector d'inducció magnètica. Font: Jfmelero

La regla d'el polze dret s'utilitza per trobar la direcció i el sentit de el camp magnètic originat per un filferro que transporta corrent, tal com es mostra a la figura de dalt.

El polze de la mà dreta ha d'apuntar en la direcció del corrent. Llavors el gir dels quatre dits restants indica la forma de B, que en la figura està representada pels cercles concèntrics de color vermell.

En aquest cas, la direcció de B és tangencial a la circumferència concèntrica amb el filferro i el sentit és contrari a les manetes de l'rellotge.

La inducció magnètica B en el Sistema Internacional es mesura Tesla (T), però és més freqüent mesurar-la en una altra unitat anomenada Gauss (G). Les dues unitats van ser nomenades respectivament en honor a Nikola Tesla (1856-1943) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pels seus extraordinaris aportacions a la ciència de l'electricitat i el magnetisme.

Quines són les propietats de la inducció magnètica o densitat de flux magnètic?

Una brúixola que es col·loqui a prop de el filferro amb corrent, s'alinearà sempre amb B. El físic danès Hans Christian Oersted (1777-1851) va ser el primer a adonar-se d'aquest fenomen al començament de segle XIX.

I quan el corrent cessa, la brúixola torna a apuntar a el nord geogràfic, com sempre. A l'anar canviant acuradament la posició de la brúixola, s'obté un mapa de la forma de camp magnètic.

Aquest mapa té sempre la forma de cercles concèntrics a la corda fluixa, tal com es va descriure a l'començament. D'aquesta manera es pot visualitzar B.

Encara si el filferro no és recte, el vector B formarà cercles concèntrics al seu voltant. Per a determinar que forma té el camp, només cal imaginar segments molt petits de filferro, tan petits que semblin rectilinis i envoltats de circumferències concèntriques.

Línies de camp magnètic produïdes per una espira de filferro que transporta corrent. Font: Pixabay.com

Això assenyala una propietat important de les línies de camp magnètic B: no tenen principi o fi, sempre són corbes tancades.

La llei de Biot-Savart

El segle XIX va determinar el començament de l'era de l'Electricitat i el Magnetisme en la ciència. A prop de l'any 1820 els físics francesos Jean Marie Biot (1774-1862) i Félix Savart (1791-1841) van descobrir la llei que porta el seu nom i que permet calcular el vector B.

Ells van realitzar les següents observacions sobre la contribució a el camp magnètic produït per un segment de filferro de longitud diferencial dl que transporta un corrent elèctric I:

• La magnitud de B decreix amb l'invers a el quadrat de la distància a la corda fluixa (això té sentit: lluny de el filferro la intensitat de B ha de ser menor que en punts propers).
• La magnitud de B és proporcional a la intensitat del corrent I que transita pel filferro.
• La direcció de B és tangencial a la circumferència de radi r centrada a la corda fluixa i el sentit de B ve donat, com hem dit, per la regla de l'polze dret.

El producte vectorial o producte creu és l'eina matemàtica apropiada per expressar l'últim punt. Per establir un producte vectorial calen dos vectors, els quals es defineixen així:

• d l és el vector la magnitud és la longitud de l'segment diferencial dl
• r és el vector que va des del filferro fins al punt on es desitja trobar el camp

fórmules

Tot això pot combinar-se en una expressió matemàtica:

La constant de proporcionalitat necessària per a establir la igualtat és la permeabilitat magnètica de l'espai lliure μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Aquesta expressió és la llei de Biot i Savart, que permet calcular el camp magnètic d'un segment de corrent.

Tal segment al seu torn ha de formar part d'un circuit més gran i tancat: una distribució de corrent.

La condició que el circuit sigui tancat és necessària perquè flueixi un corrent elèctric. El corrent elèctric no pot fluir en circuits oberts.

Finalment, per trobar el camp magnètic total d'aquesta distribució de corrent, se sumen totes les contribucions de cada segment diferencial d l. Això equival a integrar sobre tota la distribució:

Per aplicar la llei de Biot-Savart i calcular el vector inducció magnètica, cal considerar uns punts importants molt importants:

• El producte vectorial entre dos vectors sempre té com a resultat un altre vector.

• 

• Convé trobar el producte vectorial abans de passar a la resolució de la integral, després es resol la integral de cadascuna de les components obtingudes per separat.
• Cal fer un dibuix de la situació i establir un sistema de coordenades adequat.
• Sempre que s'observi l'existència d'alguna simetria, s'ha d'aprofitar per estalviar temps de càlcul.
• Quan hi hagi triangles, el teorema de Pitàgores i el teorema de el cosinus són de gran ajuda per a establir la relació geomètrica entre les variables.

Com es calcula?

Amb un exemple pràctic d'al càlcul de B per un filferro rectilini, s'apliquen aquestes recomanacions.

exemple

Calculi el vector camp magnètic que un filferro rectilini molt llarg, produeix en un punt P de l'espai, segons la figura mostrada.

Geometria necessària per a calcular el camp magnètic en el punt P, d'un filferro de corrent infinitament llarg. Font: elaboració pròpia.

A partir de la figura s'ha de:

• El filferro es troba dirigit en direcció vertical, amb el corrent I fluint cap amunt. Aquesta adreça és + i en el sistema de coordenades, l'origen està en el punt O.

• 

• En aquest cas, d'acord amb la regla de l'polze dret, B en el punt P va dirigit cap a dins de el paper, per això es denota amb un petit cercle i una «x» a la figura. Aquesta adreça es prendrà com -z.
• El triangle rectangle els catets són ii R, relaciona les dues variables segons el teorema de Pitàgores: r ² = R ² + i ²

Es substitueix tot això en la integral. El producte vectorial o creu s'indica mitjançant la seva magnitud més la seva direcció i el seu sentit:

La integral plantejada es busca en una taula d'integrals o es resol mitjançant una substitució trigonomètrica apropiada (el lector pot comprovar el resultat usant i = RTG θ):

El resultat concorda amb el que s'esperava: la magnitud de el camp decreix amb la distància R i augmenta proporcionalment amb la intensitat del corrent I.

Si bé un filferro infinitament llarg és una idealització, l'expressió obtinguda és una molt bona aproximació per al camp d'un filferro llarg.

Amb la llei de Biot i Savart és possible trobar el camp magnètic d'altres distribucions d'alta simetria, tal com una espira circular que transporta corrent, o bé filferros doblegats combinant segments rectilinis i curvilinis.

Per descomptat que per resoldre analíticament la integral plantejada, el problema ha de tenir un alt grau de simetria. Altrament l'alternativa és solucionar numèricament la integral.

referències

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 2. Mèxic. Cengage Learning Editors. 367-372.