VELOCITAT ANGULAR MITJANA: DEFINICIÓ I FÓRMULES, EXERCICIS RESOLTS - FÍSICA - 2025

La velocitat angular mitjana de rotació es defineix com l'angle girat per unitat de temps de el vector posició d'un punt que descriu moviment circular. Les aspes d'un ventilador de sostre (com el mostrat a la figura 1), segueixen moviment circular i la seva velocitat angular mitjana de gir es calcula prenent el quocient entre l'angle girat i el temps en què es va recórrer aquest angle.

Les regles que segueix el moviment de rotació són de certa manera semblants a les ja familiars de el moviment traslacional. Les distàncies recorregudes poden mesurar-se en metres també, però les magnituds angulars tenen especial rellevància perquè faciliten en gran mesura la descripció de el moviment.

Figura 1. Les aspes de ventilador tenen velocitat angular. Font: Pixabay

En general s'utilitzen lletres gregues per a les magnituds angulars i lletres llatines per a les corresponents magnituds lineals.

Definició i fórmules

A la figura 2 es representa el moviment d'un punt sobre una trajectòria circular c. La posició P del punt correspon a l'instant ti la posició angular corresponent a aquest instant és φ.

A partir d'l'instant t transcorre un lapse de temps At. En aquest lapse la nova posició del punt és P 'i la posició angular s'ha incrementant un angle Δφ.

Figura 2. Moviment circular d'un punt. Font: elaboració pròpia

La velocitat angular mitjana ω és l'angle recorregut per unitat de temps, de manera que el quocient Δφ / At representarà la velocitat angular mitjana entre els instants ti t + At:

Com l'angle es mesura en radiants i el temps en segons, la unitat de la velocitat angular mitjana és rad / s. Si es vol calcular la velocitat angular just en l'instant t, llavors caldrà calcular el quocient Δφ / At quan At ➡0.

rotació uniforme

Un moviment de rotació és uniforme si en qualsevol instant observat, l'angle recorregut és el mateix en el mateix espai de temps. Si la rotació és uniforme, llavors la velocitat angular en qualsevol instant coincideix amb la velocitat angular mitjana.

En un moviment de rotació uniforme el temps en què es dóna una volta completa s'anomena el període i es denota amb T.

A més, quan es dóna una volta completa l'angle recorregut és 2π, per això en una rotació uniforme la velocitat angular ω es relaciona amb el període T, mitjançant la següent fórmula:

Es defineix la freqüència f d'una rotació uniforme com el quocient entre el nombre de voltes i el temps emprat en recórrer-les, és a dir si en el lapse de temps At es donen N voltes llavors la freqüència serà:

f = N / At

Com una volta (N = 1) es recorre en un temps T (el període), es té la següent relació:

f = 1 / T

És a dir, en una rotació uniforme la velocitat angular es relaciona amb la freqüència mitjançant la relació:

ω = 2π · f

Relació entre rapidesa angular i rapidesa lineal

La rapidesa lineal v, és el quocient entre la distància recorreguda i el lapse de temps emprat en recórrer-la. A la figura 2 la distància recorreguda és la longitud de l'arc Δs.

L'arc Δs és proporcional a l'angle recorregut Δφ i a el radi r, complint-se la següent relació:

Δs = r · Δφ

Sempre que Δφ estigui mesurat en radians.

Si dividim l'expressió anterior entre el lapse de temps At obtindrem:

(Δs / At) = r · (Δφ / At)

El quocient del primer membre és la rapidesa lineal i el quocient de l'segon membre la velocitat angular mitjana:

v = r · ω

exercicis resolts

-Exercici 1

Les puntes de les aspes de l'ventilador de sostre mostrat a la figura 1 es mouen amb una rapidesa de 5 m / si les aspes tenen 40 cm de radi.

Amb aquestes dades calculeu: i) la velocitat angular mitjana de la roda, ii) el nombre de voltes que dóna la roda en un segon, iii) el període en segons.

solució

i) La rapidesa lineal és v = 5 m / s.

El radi és r = 0,40 m.

De la relació entre rapidesa lineal i rapidesa angular aïllem aquesta última:

v = r · ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π · f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 volta / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 volta / s) = 0,5 s per cada volta.

-Exercici 2

Un cotxet de joguina es mou en una pista circular de 2m de ràdio. Als 0s seva posició angular és 0 rad, però a el cap d'un temps t la seva posició angular és

φ (t) = 2 · t.

Amb aquestes dades

i) Calculeu la velocitat angular mitjana en els següent intervals de temps;; i finalment en el lapse.

ii) En base als resultats de la part i) Què es pot dir de el moviment?

iii) Determineu la rapidesa lineal mitjana en els mateixos lapse de temps de l'apartat i)

iv) Halle la velocitat angular i la rapidesa lineal per a qualsevol instant.

solució

i) La velocitat angular mitjana està donada per la següent fórmula:

Procedim a calcular l'angle recorregut i el lapse de temps transcorregut en cada interval.

Interval 1: Δφ = φ (0.5s) - φ (0.0s) = 2 (rad / s) * 0.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 1.0 rad

At = 0.5s - 0.0s = 0.5s

ω = Δφ / At = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Interval 2: Δφ = φ (1.0s) - φ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

At = 1.0s - 0.5s = 0.5s

ω = Δφ / At = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Interval 3: Δφ = φ (1.5s) - φ (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 1.0s = 1.0 rad

At = 1.5s - 1.0s = 0.5s

ω = Δφ / At = 1.0rad / 0.5s = 2.0 rad / s

Interval 4: Δφ = φ (1.5s) - φ (0.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 0.0s = 3.0 rad

At = 1.5s - 0.0s = 1.5s

ω = Δφ / At = 3.0rad / 1.5s = 2.0 rad / s

ii) En vista dels resultats anteriors, en els quals es va calcular la velocitat angular mitjana en diferents intervals de temps obtenint sempre el mateix resultat sembla indicar que es tracta d'un moviment circular uniforme. No obstant això aquests resultats no són concloents.

La forma d'assegurar la conclusió és calcular la velocitat angular mitjana per a un interval arbitrari: Δφ = φ (t ') - φ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t '-t)

At = t '- t

ω = Δφ / At = 2 * (t '-t) / (t'-t) = 2.0 rad / s

Això vol dir que el cotxet de joguina té velocitat angular mitjana constant de 2 rad / s en qualsevol lapse de temps considerat. Però pot anar més enllà si es calcula la velocitat angular instantània:

Això s'interpreta com que l'acte de joguina en tot instant té velocitat angular constant = 2 rad / s.

referències

1. Giancoli, D. Physics. Principles with Applications. 6th Edition. Prentice Hall. 30- 45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada a l'món. 6 ^ta Edició abreujada. Cengage Learning. 117.
3. Resnick, R. (1999). Física. Volum 1. Tercera edició en espanyol. Mèxic. Companyia Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7dt. Edició. Mèxic. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Wikipedia. Velocitat angular. Recuperat de: wikipedia.com