VECTORS NO COPLANARS: DEFINICIÓ, CONDICIONS, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

Els vectors no coplanars són aquells que no comparteixen el mateix pla. Dos vectors lliures i un punt defineixen un únic pla. Un tercer vector pot o no compartir aquest pla i si no ho fa, es tracta de vectors no coplanars.

Els vectors no coplanars no poden representar-se en espais de dues dimensions com una pissarra o un full de paper, perquè algun d'ells està contingut en la tercera dimensió. Per representar adequadament cal usar perspectiva.

Figura 1. Vectors coplanars i no-coplanars. (Elaboració pròpia)

Si observem la figura 1, tots els objectes mostrats estrictament estan en el pla de la pantalla, però gràcies a la perspectiva nostre cervell és capaç d'imaginar un pla (P) que surt de la mateixa.

Sobre aquest pla (P) hi ha els vectors r, s, o, mentre que els vectors v i w no estan en aquest pla.

Per tant els vectors r, s, o són coplanaris o coplanars entre si ja que comparteixen el mateix pla (P). Els vectors v i w no comparteixen pla amb algun dels altres vectors mostrats, per tant són no-coplanars.

Vectors coplanars i equació de el plànol

Un pla està definit de forma única si es donen tres punts en l'espai tridimensional.

Suposem que aquests tres punts són el punt A, el punt B i el punt C que defineixen el pla (P). Amb aquests punts és possible construir dos vectors AB = u i AC = v que són per construcció coplanaris amb el pla (P).

El producte vectorial (o producte creu) d'aquests dos vectors dóna com a resultat un tercer vector perpendicular (o normal) a ells dos i per tant perpendicular a el pla (P):

n = u X v => n ⊥ o i n ⊥ v => n ⊥ (P)

Qualsevol altre punt que pertanyi a el pla (P) de complir que el vector AQ sigui perpendicular a el vector n; això és equivalent a dir que el producte escalar (o producte punt) de n amb AQ ha de ser zero:

n • AQ = 0 (*)

La condició anterior és equivalent a dir que:

AQ • (o X v) = 0

Aquesta equació assegura que el punt Q pertanyi a el pla (P).

Equació cartesiana de l'plànol

L'equació anterior es pot escriure en forma cartesiana. Per a això escrivim les coordenades dels punts A, Q i les components de el vector normal n:

De manera que les components de AQ són:

La condició perquè el vector AQ estigui contingut en el pla (P) és la condició (*) que ara s'escriu així:

Calculant el producte punt queda:

Si es desenvolupa i es reordena queda:

L'expressió anterior és l'equació cartesiana d'un pla (P), en funció de les components d'un vector normal a (P) i les coordenades d'un punt A que pertany a (P).

Condicions perquè tres vectors siguin no coplanars

Com s'ha vist a la secció prèvia la condició AQ • (o X v) = 0 garanteix que el vector AQ és coplanari a o i v.

Si anomenem w a el vector AQ llavors podem afirmar que:

w, o i v són coplanars, si i només si w • (o X v) = 0.

Condició de no-coplanaridad

Si el producte triple (o producte mixt) de tres vectors és diferent de zero llavors aquests tres vectors són no-coplanars.

Si w • (o X v) ≠ 0 llavors els vectors u, v, w són no-coplanaris.

Si s'introdueixen les components cartesianes dels vectors u, v, w la condició de no-coplanaridad es pot escriure així:

El producte triple té una interpretació geomètrica i representa el volum de l'paral generat pels tres vectors no coplanars.

Figura 2. Tres vectors no-coplanars defineixen un paral·lelepípede el volum és el mòdul del producte triple. (Elaboració pròpia)

La raó és la següent; quan es multiplica vectorialment dos dels vectors no-coplanars s'obté un vector la magnitud és l'àrea de l'paral·lelogram que ells generen.

Després quan aquest vector es multiplica escalarment pel tercer vector no coplanar, el que es té és la projecció a un vector perpendicular a el plànol que determinen els dos primers multiplicada per l'àrea que ells determinen.

És a dir es té l'àrea de l'paral·lelogram generat pels dos primers multiplicada per l'altura de el tercer vector.

Condició alternativa de no-coplanaridad

Si es tenen tres vectors i qualsevol d'ells no es pot escriure com a combinació lineal dels altres dos, es que els tres vectors són no-coplanars. És a dir tres vectors o, v i w són no-coplanars si la condició:

α o + β v + γ w = 0

Es compleix únicament quan α = 0, β = 0 i γ = 0.

exercicis resolts

-Exercici 1

Es tenen tres vectors

o = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) i w = (-1, 2, z)

Noti que la component z de el vector w és desconeguda.

Trobi l'interval de valors que pot prendre z de manera que es garanteixi que els tres vectors no comparteixen el mateix pla.

solució

w • (o X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Igualem aquesta expressió a la valor zero

21 z + 18 = 0

i aïllem z

z = -18/21 = -6/7

Si la variable z prengués el valor -6/7 llavors els tres vectors serien coplanars.

De manera que els valors de z que garanteixen que els vectors són no-coplanars són els que estiguin en el següent interval:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Exercici 2

Trobi el volum de l'paral·lelepípede mostrat en la següent figura:

solució

Per trobar el volum de l'paral·lelepípede mostrat a la figura, es determinaran les components cartesianes de tres vectors no-coplanars concurrents a l'origen de el sistema de coordenades. El primer d'ells és el vector o de 4m i paral·lel a l'eix X:

o = (4, 0, 0) m

El segon és el vector v en el pla XY de mida 3m que forma 60º amb l'eix X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

I el tercer el vector w de 5m i la projecció en el pla XY forma 60º amb l'eix X, a més w forma 30º amb l'eix Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Efectuat els càlculs ens queda: w = (1.25, 2.17, 2.5) m.

referències

1. Figueroa, D. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. 31-68.
2. Física. Mòdul 8: Vectors. Recobrat de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mecànica per a Enginyers. Estàtica. 6ta Edició. Companyia Editorial Continental.28-66.
4. McLean, W. Sèrie Schaum. Mecànica per a Enginyers: Estàtica i Dinàmica. 3ra Edició. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Recobrat de: es.wikipedia.org