Els vectors lliures són aquells que estan totalment especificats mitjançant la seva magnitud, la seva direcció i el seu sentit, sense que sigui necessari indicar un punt d'aplicació o un origen en particular.
Ja que es poden dibuixar infinits vectors d'aquesta manera, un vector lliure no és una entitat única, sinó un conjunt de vectors paral·lels i idèntics que són independents de el lloc on es trobin.
Figura 1. Diversos vectors lliures. Font: elaboració pròpia.
Diguem que es tenen diversos vectors de magnitud 3 dirigits verticalment cap amunt, o de magnitud 5 i inclinats cap a la dreta, com a la figura 1.
Cap d'aquests vectors està específicament aplicat a algun punt. Llavors qualsevol dels vectors blaus o verds és representatiu del seu respectiu grup, ja que les seves característiques -mòdul, direcció i sentit- no es modifiquen en l'absolut a l'ésser traslladats a un altre lloc de el pla.
Un vector lliure sol denotar-en text imprès amb una lletra minúscula i negreta, per exemple v. O amb minúscula i una fletxeta a sobre si es tracta de text manuscrit .
L'avantatge que tenen els vectors lliures és que se'ls pot moure pel pla o per l'espai i mantenen les seves propietats, ja que qualsevol representant del conjunt és igualment vàlid.
Per això en física i en mecànica són utilitzats amb freqüència. Per exemple, per indicar la velocitat lineal d'un sòlid que es trasllada no cal escollir un punt en particular de l'objecte. Llavors el vector velocitat es comporta com un vector lliure.
Un altre exemple de vector lliure és el parell de forces. Un parell consisteix en dues forces d'igual magnitud i direcció, però de sentits oposats, aplicades en diferents punts d'un sòlid. L'efecte d'un parell no és traslladar a l'objecte, sinó causar una rotació gràcies a el moment produït.
A la figura 2 es mostra un parell de forces aplicat sobre un volant. Mitjançant les forces F 1 i F 2, es crea el parell que gira el volant al voltant del seu centre i en sentit horari.
Figura 2. Un parell de forces aplicat a un volant li proporciona un gir en sentit horari. Font: Bielasko.
Es poden fer alguns canvis sobre el parell i seguir obtenint el mateix efecte giratori, per exemple augmentar la força, però disminuir la distància entre elles. O mantenir la força i la distància, però aplicar el parell sobre una altra parella de punts al volant, és a dir, girar el parell al voltant de el centre.
El moment de el parell de forces o simplement parell, és un vector el mòdul és Fd i està dirigit perpendicularment a mapa de la el volant. En l'exemple mostrat per convenció el gir horari té sentit negatiu.
Propietats i característiques
A l'contrari que el vector lliure v, els vectors AB i CD són fixos (veure la figura 3), ja que posseeixen punt de partida i punt d'arribada especificats. Però a l'ésser equipol·lents entre si, i al seu torn amb el vector v, són representatius de l'vector lliure v.
Figura 3. Vectors lliures, vectors equipol·lents i vectors fixos. Font: elaboració pròpia.
Les principals propietats dels vectors lliures són les següents:
Qualsevol vector AB (veure figura 2) és, com es va dir, representatiu de el vector lliure v.
-El mòdul, la direcció i el sentit són els mateixos en qualsevol representant de l'vector lliure. A la figura 2, els vectors AB i CD representen a el vector lliure v i són equipol·lents.
-Atès un punt P de l'espai, sempre és possible trobar un representant de l'vector lliure v l'origen es trobi en P i dit representant és únic. Aquesta és la propietat més important dels vectors lliures i la que els fa tan versàtils.
-Un vector lliure nul es denota com 0 i és el conjunt de tots els vectors que no tenen magnitud, direcció i sentit.
-Si el vector AB representa el vector lliure v, llavors el vector BA representa el vector lliure - v.
-Es farà servir la notació V 3 per designar el conjunt de tots els vectors lliures de l'espai i V 2 per designar a tots els vectors lliures de el pla.
exercicis resolts
Amb els vectors lliures es poden realitzar les següents operacions:
-suma
-falta
-Multiplicación d'escalar per un vector
-Producte escalar entre dos vectors.
-Producte creu entre dos vectors
-Combinació lineal de vectors
I més.
-Exercici 1
Un estudiant pretén arribar nedant des d'un punt a la riba d'un riu a un altre que està justament davant. Per aconseguir-res directament a una velocitat de 6 km / h, en direcció perpendicular, però el corrent té una rapidesa de 4 km / h que ho desvia.
Calcular la velocitat resultant de l'nedador i què tant és desviat pel corrent.
solució
La velocitat resultant de l'nedador és la suma vectorial de la seva velocitat (respecte a riu, dibuixada verticalment cap amunt) i la velocitat del riu (dibuixada d'esquerra a dreta), la qual s'efectua com s'indica a la figura a continuació:
La magnitud de la velocitat resultant correspon a la hipotenusa d'el triangle rectangle mostrat, per tant:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / h = 7.2 km / h
La direcció es pot calcular mitjançant l'angle a respecte a la perpendicular a la riba:
α = arctan (4/6) = 33.7º o bé 56.3º respecte a la riba.
exercici 2
Trobi el moment de el parell de forces que es mostra a la figura:
solució
El moment es calcula mitjançant:
M = r x F
Les unitats de moment són lb-f.pie. Ja que el parell és al pla de la pantalla, el moment està dirigit perpendicularment a aquest, ja sigui cap a fora o cap a dins.
Com el parell l'exemple tendeix a fer girar a l'objecte sobre el qual s'aplica (que no està mostrat en la figura) en sentit horari, aquest moment es considera apuntant cap a dins de la pantalla i amb signe negatiu.
La magnitud de moment és M = Fdsen a, sent a l'angle entre la força i el vector r. Cal escollir un punt respecte a el qual calcular el moment, que és un vector lliure. S'escull l'origen de el sistema de referència, per tant r va des de O fins al punt d'aplicació de cada força.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. peu = -8660.3 lb-f. peu
El moment net és la suma de M 1 i M 2: -17329.5 lb-f. peu.
referències
- Beardon, T. 2011. An introduction to vectors. Recobrat de: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Mecànica per a Enginyeria: Estàtica. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemática.31-68.
- Física. Mòdul 8: Vectors. Recobrat de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mecànica per a Enginyers. Estàtica. 6ta Edició. Companyia Editorial Continental. 15-53.
- Vector Addition Calculator. Recobrat de: 1728.org
- Vectors. Recobrat de: es.wikibooks.org