VECTOR NORMAL: CÀLCUL I EXEMPLE - FÍSICA - 2025

El vector normal és aquell que defineix la direcció perpendicular a alguna entitat geomètrica sota consideració, la qual pot ser per un revolt, un plànol o una superfície, per exemple.

Es tracta d'un concepte molt útil en el posicionament d'una partícula mòbil o alguna superfície en l'espai. En la següent gràfica és possible veure com és el vector normal a una corba arbitrària C:

Figura 1. Una corba C amb el vector normal a la corba en el punt P. Font: Svjo

Penseu un punt P sobre la corba C. El punt pot representar una partícula mòbil que es desplaça seguint una via en forma de C. La recta tangent a la corba en el punt P apareix dibuixada en color vermell.

Observi que el vector T és tangent a C en cada punt, mentre que el vector N és perpendicular a T i apunta el centre d'una circumferència imaginària l'arc és un segment de C. Els vectors es denoten en lletra negreta en text imprès, per distingir-los d'altres magnituds no vectorials.

El vector T sempre indica cap a on es mou la partícula, per tant assenyala la velocitat de la mateixa. En canvi el vector N apunta sempre en la direcció en la qual la partícula està girant, d'això manera assenyala la concavitat de la corba C.

Com treure el vector normal a un pla?

El vector normal no necessàriament és un vector unitari, és a dir, un vector el mòdul és 1, però de ser així, se li crida vector unitari normal.

Figura 2. A l'esquerra un pla P i els dos vectors normals a aquest pla. A la dreta els vectors unitaris en les tres direccions que determinen l'espai. Font: Wikimedia Commons. Veure page for author

En nombroses aplicacions cal conèixer el vector normal a un pla en lloc d'una corba. Aquest vector dóna a conèixer l'orientació de l'esmentat pla en l'espai. Per exemple, considerem el pla P (groc) de la figura:

Hi ha dos vectors normals a aquest pla: n ₁ i n ₂. L'ús d'un o altre dependrà de l'context en què es trobi l'esmentat pla. Obtenir el vector normal a un pla és molt senzill si es coneix l'equació de el mateix:

Aquí el vector N ve expressat en termes dels vectors unitaris i perpendiculars entre si i, j i k, dirigits al llarg de les tres direccions que determinen l'espai xyz, vegeu la figura 2 dreta.

El vector normal a partir del producte vectorial

Un procediment molt senzill per trobar el vector normal fa ús de les propietats del producte vectorial entre dos vectors.

Com és sabut, tres punts diferents i no colineals entre si, determinen un pla P. Ara bé, és possible obtenir dos vectors o i v que pertanyin a l'esmentat pla disposant d'aquests tres punts.

Una vegada que es tinguin els vectors, el producte vectorial o x v és una operació el resultat és al seu torn un vector, el qual té la propietat de ser perpendicular a el pla determinat per o i v.

Conegut aquest vector, se li denota com N, ia partir d'ell serà possible determinar l'equació de l'plànol gràcies a l'equació indicada a la secció precedent:

N = o x v

A la següent figura s'il·lustra el procediment descrit:

Figura 3. Amb dos vectors i el seu producte vectorial o creu, es determina l'equació de el plànol que conté als dos vectors. Font: Wikimedia Commons. No machine-readable Autor provided. M.Romero Schmidtke assumed (based on copyright claims).

exemple

Trobar l'equació d'el pla determinat pels punts A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

solució

Aquest exercici il·lustra el procediment anteriorment descrit. A l'disposar de 3 punts, s'escull un d'ells com a origen comú de dos vectors que pertanyin a l'àmbit definit per aquests punts. Per exemple, es fixa el punt A com a origen i es construeixen els vectors AB i AC.

El vector AB és el vector l'origen és el punt A i el seu extrem és el punt B. Les coordenades de el vector AB es determinen restant respectivament les coordenades de B de les coordenades de A:

Es procedeix de la mateixa manera per trobar el vector AC:

Càlcul del producte vectorial

Hi ha diversos procediments per trobar el producte vectorial entre dos vectors. En aquest exemple s'utilitza un procediment mnemotècnic que fa ús de la següent figura per trobar els productes vectorials entre els vectors unitaris i, j i k:

Figura 4. Gràfica per determinar el producte vectorial entre els vectors unitaris. Font: elaboració pròpia.

Per començar és bo recordar que els productes vectorials entre vectors paral·lels són nuls, per tant:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

I com el producte vectorial és un altre vector perpendicular als vectors participants, a l'moure en direcció a la fletxa vermella es té:

Si cal moure en sentit contrari a la fletxa llavors s'agrega un signe (-):

En total és possible fer 9 productes vectorials amb els vectors unitaris i, j i k, dels quals 3 seran nuls.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) + 0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Equació de el plànol

El vector N ha quedat determinat pel producte vectorial calculat prèviament:

N = 2 i -8 j -2 k

Per tant a = 2, b = -8, c = 2, el pla buscat és:

Encara falta per determinar el valor de d. Això és fàcil si se substitueixen en l'equació de l'àmbit dels valors de qualsevol dels punts A, B o C dels que es disposa. Triant C per exemple:

x = 4; i = 2; z = 1

queda:

En definitiva el pla buscat és:

El lector inquisitiu pot preguntar-se si s'hauria obtingut el mateix resultat si en comptes de fer AB x AC s'hagués triat efectuar AC x AB. La resposta és sí, el pla determinat per aquests tres punts és únic i té dos vectors normals, com ho mostra la figura 2.

Pel que fa a el punt seleccionat com a origen dels vectors, tampoc hi ha inconvenient a escollir qualsevol dels altres dos.

referències

1. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. Editat per Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. Finding the normal to a plane. Recuperat de: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Càlcul i Geometria Analítica. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Lines and plans in R 3. Recuperat de: math.harvard.edu.
5. Normal vector. Recuperat de mathworld.wolfram.com.