VECTOR DIRECTOR: EQUACIÓ DE LA RECTA, EXERCICIS RESOLTS - FÍSICA - 2025

S'entén per vector director aquell que defineix la direcció d'una recta, ja sigui en el pla o en l'espai. Per això, un vector paral·lel a la recta, pot ser considerat com un vector director de la mateixa.

Això és possible gràcies a un axioma de la geometria euclidiana que diu que dos punts defineixen una recta. Llavors el segment orientat que formen aquests dos punts defineix també un vector director d'aquesta recta.

Figura 1. Vector director d'una recta. (Elaboració pròpia)

Donat un punt P pertany a la recta (L) i donat un vector director o d'aquesta recta, la recta queda completament determinada.

Equació de la recta i vector director

Figura 2. Equació de la recta i vector director. (Elaboració pròpia)

Donat un punt P de coordenades P: (Xo, Yo) i un vector o director d'una recta (L), tot punt Q de coordenades Q: (X, Y) ha de complir que el vector PQ sigui paral·lel a u. Aquesta última condició es garanteix si PQ és proporcional a o:

PQ = t⋅ o

en l'expressió anterior t és un paràmetre que pertany als nombres reals.

Si s'escriuen les components cartesianes de PQ i de o l'equació anterior s'escriu de la següent manera:

(X-Xo, I-Jo) = t⋅ (a, b)

Si s'igualen les components de la igualtat vectorial es té el següent parell d'equacions:

X - Xo = a⋅ty I - Jo = b⋅t

Equació paramètrica de la recta

Les coordenades X i Y d'un punt pertanyent a la recta (L) que passa per un punt de coordenades (Xo, Yo) i és paral·lela a l' vector director u = (a, b) es determinen assignant valors reals a el paràmetre variable t:

{X = Xo + a⋅t; I = Jo + b⋅t}

exemple 1

Per il·lustrar el significat de l'equació paramètrica de la recta, prenem com a vector director

o = (a, b) = (2, -1)

i com a punt conegut de la recta el punt

P = (Xo, Yo) = (1, 5).

L'equació paramètrica de la recta és:

{X = 1 + 2⋅t; I = 5 - 1⋅t; -∞

Per il·lustrar el significat d'aquesta equació es mostra la figura 3, on el paràmetre t va canviant de valor i el punt Q de coordenades (X, Y) pren diferents posicions sobre la recta.

Figura 3. PQ = t u. (Elaboració pròpia)

La recta en forma vectorial

Donat un punt P de la recta i el seu vector director o pot escriure l'equació de la recta en forma vectorial:

OQ = OP + λ⋅ o

En l'equació anterior Q és un punt qualsevol però pertanyent a la recta i λ un nombre real.

L'equació vectorial de la recta és aplicable a qualsevol nombre de dimensions, fins i tot pot definir-se una hiper-recta.

En el cas tridimensional per a un vector director o = (a, b, c) i un punt P = (Xo, Yo, Zo), les coordenades d'un punt genèric Q = (X, Y, Z) pertanyent a la recta és:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

exemple 2

Penseu novament la recta que té com a vector director

o = (a, b) = (2, -1)

i com a punt conegut de la recta el punt

P = (Xo, Yo) = (1, 5).

L'equació vectorial d'aquesta recta és:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma contínua de la recta i el vector director

Partint de la forma paramètrica, aclarint i igualant el paràmetre λ es té:

(X-Xo) / a = (I-Jo) / b = (Z-Zo) / c

Aquesta és la forma simètrica de l'equació de la recta. Noti que a, bic són les components de el vector director.

exemple 3

Penseu en la recta que té com a vector director

o = (a, b) = (2, -1)

i com a punt conegut de la recta el punt

P = (Xo, Yo) = (1, 5). Halle seva forma simètrica.

La forma simètrica o contínua és de la recta és:

(X - 1) / 2 = (I - 5) / (- 1)

Forma general de l'equació de la recta

Es coneix com la forma general de la recta en el pla XY a l'equació que té la següent estructura:

A⋅X + B⋅Y = C

L'expressió de la forma simètrica pot ser reescrita de manera que tingui la forma general:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

comparant amb la forma general de la recta queda:

A = b, B = -ai C = b⋅Xo - a⋅Yo

exemple 3

Trobar la forma general de la recta el vector director és u = (2, -1)

i que passa pel punt P = (1, 5).

Per trobar la forma general podem usar les fórmules donades, però s'optarà per un camí alternatiu.

Comencem per trobar el vector dual w de el vector director u, definit com el vector que s'obté intercanviant les components d'u i multiplicant per -1 la segona:

w = (-1, -2)

el vector dual w correspon a una rotació en 90 ° en sentit horari de el vector director v.

Multipliquem escalarment w amb (X, Y) i amb (Xo, Yo) i igualem:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2I = -1 -2⋅5 = -11

quedant finalment:

X + 2Y = 11

Forma estàndard de l'equació de la recta

Es coneix com a forma estàndard de la recta en el pla XY, la que té l'estructura següent:

I = m⋅X + d

on m representa el pendent id la intercepció amb l'eix Y.

Donat el vector director u = (a, b), el pendent m és b / a.

I d s'obté substituint X i Y pel punt conegut Xo, Jo:

Jo = (b / a) Xo + d.

En definitiva m = b / aid = Jo - (b / a) Xo

Noti que el pendent m és el quocient entre la component i de el vector director i la component x d'aquest.

exemple 4

Trobar la forma estàndard de la recta el vector director és u = (2, -1)

i que passa pel punt P = (1, 5).

m = -½ id = 5 - (-½) 1 = 11/2

I = (-1/2) X + 11/2

exercicis resolts

-Exercici 1

Trobeu un vector director de la recta (L) que és la intersecció de el pla (Π): X - Y + Z = 3 i el pla (Ω): 2X + I = 1.

Després escriviu la forma contínua de l'equació de la recta (L).

solució

De l'equació de el pla (Ω) buido I: I = 1 -2x

Després substituïm en l'equació de el pla (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Després parametritzem X, vam triar la parametrització X = λ

Això vol dir que la recta té equació vectorial donada per:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

que pot ser reescrita com:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

amb el que queda clar que el vector u = (1, -2, -3) és un vector director de la recta (L).

La forma contínua de la recta (L) és:

(X - 0) / 1 = (I - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Exercici 2

Donat el pla 5X + a I + 4Z = 5

i la recta d'equació X / 1 = (I-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determineu el valor de a de tal manera que el pla i la recta siguin paral·lels.

solució 2

El vector n = (5, a, 4) és un vector normal a el pla.

El vector u = (1, 3, -2) és un vector director de la recta.

Si la recta és paral·lela a el pla, llavors n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 + 3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

referències

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Àlgebra lineal. Pearson Educació.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometria Analítica Plana. Mèrida - Veneçuela: Editorial Veneçolana CA
4. Navarro, Rocio. Els vectors. Recobrat de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precàlcul. Pearson Educació.
6. Prenowitz, W. 2012. Basic Concepts of Geometry. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precàlcul. Pearson Educació.