VECTOR: CARACTERÍSTIQUES I PROPIETATS, ELEMENTS, TIPUS, EXEMPLES - CIÈNCIA - 2025

Els vectors són entitats matemàtiques que posseeixen una magnitud -positiva-, generalment acompanyada d'una unitat de mesura, a més de direcció i sentit. Aquestes característiques són molt apropiades per a descriure quantitats físiques com velocitat, força, acceleració i moltes més.

Amb els vectors és possible realitzar operacions com a suma, resta i productes. La divisió no està definida per als vectors i pel que fa a l'producte, hi ha tres classes que descriurem més endavant: producte escalar o punt, producte vectorial o creu i producte d'un escalar per un vector.

Figura 1. Els elements d'un vector. Font: Wikimedia Commons.

Per descriure completament un vector, cal indicar totes les seves característiques. La magnitud o mòdul és un valor numèric acompanyat d'una unitat, mentre que la direcció i el sentit s'estableixen amb ajuda d'un sistema de coordenades.

Vegem un exemple: suposem que un avió vola d'una ciutat a una altra a raó de 850 km / h en direcció NE. Aquí tenim un vector completament especificat, ja que es disposa de la magnitud: 850 km / h, mentre que la direcció i el sentit són NE.

Els vectors solen representar gràficament mitjançant segments de recta orientats, la longitud és proporcional a la magnitud.

Mentre que per a especificar la direcció i el sentit es requereix d'una línia de referència que sol ser l'eix horitzontal, encara que també es pot prendre al nord com a referència, com és el cas de la velocitat de l'avió:

Figura 2. Un vector velocitat. Font: F. Zapata.

La figura mostra el vector velocitat de l'avió, a què es denota com v en lletra negreta, per a distingir-ho d'una quantitat escalar, que només requereix d'un valor numèric i alguna unitat per quedar especificada.

Elements d'un vector

Tal com hem dit, els elements de el vector són:

-Magnitud o mòdul, algunes vegades també anomenat valor absolut o norma de el vector.

-Direcció

-Sentit

En l'exemple de la figura 2, el mòdul de v és 850 km / h. El mòdul es denota com v sense negretes, o com - v -, on les barres representen el valor absolut.

La direcció de v s'especifica que fa a al Nord. En aquest cas és 45º a el Nord d'l'Est (45º NE). Finalment la punta de la fletxa informa sobre el sentit de v.

En aquest exemple s'ha dibuixat l'origen de el vector coincidint amb l'origen O de sistema de coordenades, a això se li coneix com a vector lligat. En canvi, si l'origen de el vector no coincideix amb el de sistema de referència, es diu que és un vector lliure.

Cal observar que per precisar completament el vector, cal assenyalar aquests tres elements, en cas contrari la descripció de el vector seria incompleta.

Components rectangulars d'un vector

Figura 3. Components rectangulars d'un vector en el pla. Font: Wikimedia Commons. uranther

A la imatge tenim de tornada nostre vector d'exemple v, que es troba en el pla xy.

És fàcil advertir que les projeccions de v sobre els eixos de coordenades xiy determinen un triangle rectangle. Aquestes projeccions són v _i v _x i s'anomenen components rectangulars de v.

Una manera de denotar a v mitjançant els seus components rectangulars és així: v =x, v _i >. S'usen aquests claudàtors en comptes de parèntesi per emfatitzar el fet que es tracta d'un vector i no d'un punt, ja que en aquest cas es farien servir parèntesis.

Si el vector es troba en l'espai tridimensional, cal una component més, de manera que:

v =x, v _i, v _z >

Coneixent les components rectangulars es calcula la magnitud de el vector, equivalent a trobar la hipotenusa d'el triangle rectangle els catets són v _x i v _{i ,.} Mitjançant el teorema de Pitàgores se segueix que:

Forma polar d'un vector

Quan es coneixen la magnitud de el vector - v - i l'angle θ que aquest forma amb l'eix de referència, generalment l'eix horitzontal, el vector queda igualment especificat. Es diu llavors que el vector està expressat en forma polar.

Les components rectangulars en aquest cas es calculen fàcilment:

D'acord a l'anterior, les components rectangulars de el vector velocitat v de l'avió serien:

tipus

Hi ha diversos tipus de vectors. Hi ha vectors de velocitat, posició, desplaçament, força, camp elèctric, quantitat de moviment i molts més. Com ja hem dit, en física hi ha una gran quantitat de magnituds vectorials.

Pel que fa a vectors que posseeixen determinades característiques, podem esmentar els següents tipus de vectors:

-Nulos: es tracta de vectors la magnitud és 0 i que es denoten com 0. Cal recordar que la lletra negreta simbolitza les tres característiques fonamentals d'un vector, mentre que la lletra normal representa únicament a l'mòdul.

Per exemple sobre un cos en equilibri estàtic, el sumatori de forces ha de ser un vector nul.

- Lliures i lligats: els vectors lliures són aquells els llocs d'origen i d'arribada són qualsevol parell de punts de l'plànol o de l'espai, a diferència dels vectors lligats, l'origen coincideix amb el de sistema de referència emprat per descriure.

El parell o moment produït per un parell de forces és un bon exemple de vector lliure, ja que el parell no s'aplica a algun punt en particular.

- equipol·lents: són dos vectors lliures que comparteixen idèntiques característiques. Per tant tenen igual magnitud, direcció i sentit.

- coplanars o coplanaris: vectors que pertanyen a un mateix pla.

- Oposats: vectors amb igual magnitud i direcció, però sentits oposats. El vector oposat a un vector v és el vector - v i la suma de tots dos és el vector nul: v + (- v) = 0.

- Concurrents: vectors les línies d'acció passen totes per un mateix punt.

- lliscants: són aquells vectors el punt d'aplicació pot lliscar al llarg d'una recta en particular.

- colineals: vectors que se situen sobre una mateixa recta.

- Unitaris: aquells vectors el mòdul es 1.

Vectors unitaris ortogonals

Hi ha un tipus de vector molt útil en física anomenat vector unitari ortogonal. El vector unitari ortogonal té mòdul igual a 1 i les unitats poden ser qualssevol, per exemple les de velocitat, posició, força o altres.

Hi ha un conjunt de vectors especials que ajuden a representar fàcilment a altres vectors ia realitzar operacions amb ells: són els vectors unitaris ortogonals i, j i k, unitaris i perpendiculars entre si.

En dues dimensions, aquests vectors estan dirigits al llarg de el sentit positiu tant de l'eix x com de l'eix i. I en tres dimensions s'afegeix un vector unitari en direcció a l'eix z positiu. Es representen de la següent manera:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Un vector es pot representar mitjançant els vectors unitaris i, j i k com segueix:

v = v _x i + v _i j + v _z k

Per exemple el vector velocitat v dels exemples anteriors es pot escriure com:

v = 601.04 i + 601.04 j km / h

La component en k no és necessària, ja que aquest vector està en el pla.

Suma de vectors

La suma de vectors apareix amb molta freqüència en diverses situacions, per exemple quan es desitja trobar la força resultant sobre un objecte que és afectat per diverses forces. Per començar suposem que es tenen dos vectors lliures o i v sobre el pla, tal com ho mostra la següent figura l'esquerra:

Figura 4. Suma gràfica de dos vectors. Font: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach.

Immediatament es trasllada acuradament a el vector v, sense modificar la seva magnitud, direcció ni sentit, perquè es origen coincideixi amb l'extrem de o.

El vector suma es diu w i es dibuixa partint d'o acabant en v, d'acord a la figura dreta. És important destacar que la magnitud de el vector w no necessàriament és la suma de les magnituds de v i o.

Si es reflexiona acuradament a l'respecte, l'única ocasió en què la magnitud de el vector resultant és la suma de les magnituds dels sumands, és quan tots dos sumands estan en la mateixa direcció i tenen el mateix sentit.

I què passa si els vectors no són lliures? També és molt senzill sumar-los. La manera de fer-ho és sumant component a component, o mètode analític.

Com a exemple considerem els vectors de la següent figura, el primer és expressar-los d'alguna de les formes cartesianes explicades prèviament:

Figura 5. Suma de dos vectors lligats. Font: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

o = <2,3>

Per obtenir la component en x de el vector suma w, se sumen les respectives components en x d' v i o: w _x = 5 + 2 = 7. I per obtenir w _i se segueix un procediment anàleg: w _i = 1 + 3. Per tant:

o = <7,4>

Propietats de la suma de vectors

-La suma de dos o més vectors dóna com a resultat un altre vector.

-És commutativa, l'ordre dels sumands no altera la suma, de tal manera que:

o + v = v + o

- L'element neutre de la suma de vectors és el vector nul: v + 0 = v

- La resta de dos vectors es defineix com la suma de l'oposat: v - u = v + (-u)

Exemples de vectors

Com hem dit, hi ha nombroses quantitats vectorials en física. Entre les més conegudes estan:

-Posició

Desplaçament

-Velocitat mitjana i velocitat instantània

Acceleració

-Força

-Quantitat de moviment

-Torque o moment d'una força

-Impuls

-Camp elèctric

-Camp magnètic

-moment magnètic

D'altra banda no són vectors sinó escalars:

-Temps

-Massa

Temperatura

-Volum

-Densitat

-Treball mecànic

-Energia

-calor

-Potència

-Voltaje

-Corrent elèctrica

Altres operacions entre vectors

A més de la suma i la resta de vectors, hi ha altres tres operacions entre vectors molt importants, perquè donen lloc a noves magnituds físiques molt importants:

-Producte d'un escalar per un vector.

-El producte escalar o producte punt entre vectors

-I el producte creu o vectorial entre dos vectors.

Producte d'un escalar per un vector

Considerem la segona llei de Newton, que afirma que la força F i l'acceleració a són proporcionals. La constant de proporcionalitat és la massa m de l'objecte, per tant:

F = m. a

La massa és un escalar; per la seva part la força i l'acceleració són vectors. Com que la força s'obté multiplicant la massa per l'acceleració, és el resultat del producte d'un escalar per un vector.

Aquest tipus de producte sempre dóna com a resultat un vector. Aquí un altre exemple: la quantitat de moviment. Sigui P el vector quantitat de moviment, v el vector velocitat i com sempre, m és la massa:

P = m. v

Producte escalar o producte punt entre vectors

Hem col·locat a la feina mecànic a la llista de magnituds que no són vectors. No obstant això el treball en física és el resultat d'una operació entre vectors anomenada producte escalar, producte interior o producte punt.

Siguin els vectors v i o, es defineix el producte punt o escalar entre ells com:

v ∙ o = - v - ∙ - o -.cos θ

Sent θ l'angle entre ambdós. De l'equació mostrada es dedueix immediatament que el resultat del producte punt és un escalar i també que si dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és 0.

De tornada a la feina mecànic W, aquest és el producte escalar entre el vector força F i el vector desplaçament ℓ.

Quan es disposa dels vectors en termes dels seus components, el producte punt també és molt senzill de calcular. Si v =x, v _i, v _z > i u =x, o _i, o _z >, el producte punt entre ambdós és:

v ∙ o = v _x o _x + v _i u _i + v _z o _z

El producte punt entre vectors és commutatiu, per tant:

v ∙ o = o ∙ v

Producte creu o producte vectorial entre vectors

Si v i u són els nostres dos vectors d'exemple, es defineix el producte vectorial com:

v x o = w

Immediatament se segueix que el producte creu dóna com a resultat un vector, el mòdul es defineix com:

On θ és l'angle entre els vectors.

El producte creu no és commutatiu, per tant v x o ≠ o x v. De fet v x u = - (o x v).

Si els dos vectors d'exemple s'expressen en termes dels vectors unitaris, el càlcul del producte vectorial es facilita:

v = v _x i + v _i j + v _z k

o = u _x i + o _i j + o _z k

Productes creu entre vectors unitaris

El producte creu entre vectors unitaris idèntics és nul, ja que l'angle entre ells és 0º. Però entre vectors unitaris diferents, l'angle entre ells és 90º i sin 90º = 1.

El següent esquema ajuda a trobar aquests productes. En sentit de la fletxa té sentit positiu i en sentit contrari negatiu:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Aplicant la propietat distributiva, que segueix sent vàlida per als productes entre vectors més les propietats dels vectors unitaris, es té:

v x u = (v _x i + v _i j + v _z k) x (o _x i + o _i j + o _z k) =

exercicis resolts

- Exercici 1

Donats els vectors:

v = -5 i + 4 j +1 k

o = 2 i -3 j + 7 k

Quin ha de ser el vector w perquè la suma v + o + w resulti 6 i +8 j -10 k ?

solució

Per tant s'ha de complir que:

La resposta és: w = 9 i +7 j - 18 k

- Exercici 2

Quin és l'angle entre els vectors v i o de l'exercici 1?

solució

Farem servir el producte escalar. De la definició tenim:

v ∙ o = -10 -12 + 7 = -15

Substituint aquests valors:

referències

1. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7dt. Ed. Cengage Learning.