VARIABLE CONTÍNUA: CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

La variable contínua és aquella que pot prendre un nombre infinit de valors numèrics entre dos valors donats, fins i tot si aquests dos valors són arbitràriament propers. S'usen per descriure atributs mesurables; per exemple l'estatura i el pes. Els valors que pren una variable contínua poden ser nombres racionals, nombres reals o nombres complexos, encara que aquest últim cas és menys freqüent en estadística.

La característica principal de les variables contínues és que entre dos valors racionals o reals sempre es pot trobar un altre, i entre aquest altre i el primer es pot trobar un altre valor, i així indefinidament.

Figura 1. La corba representa una distribució contínua i les barres una discreta. Font: pixabay

Per exemple, suposem la variable pes en un grup on el de més pes té 95 kg i el de menor pes 48 kg; aquest seria el rang de la variable i el nombre de valors possibles és infinit.

Per exemple entre 50,00 kg i 50,10 kg pot estar 50,01. Però entre 50,00 i 50,01 hi pot haver la mesura 50,005. Això és una variable contínua. En canvi, si en les mesures possibles de pes s'establís una precisió d'un sol decimal llavors la variable usada seria discreta.

Les variables contínues pertanyen a la categoria de variables quantitatives, perquè tenen associat un valor numèric. Amb aquest valor numèric és possible realitzar operacions matemàtiques que van des aritmètiques fins als mètodes de càlcul infinitesimal.

exemples

La major part de les variables de la física són variables contínues, entre elles podem nomenar: longitud, el temps, la rapidesa, l'acceleració, l'energia, la temperatura i altres.

Variables contínues i variables discretes

En estadística es poden definir diversos tipus de variables, tant les qualitatives com les quantitatives. Les variables contínues pertanyen a aquesta última categoria. Amb elles és possible realitzar operacions aritmètiques i de càlcul.

Per exemple la variable h, corresponent a les persones amb alçada entre 1,50 mi 1,95 m, és una variable contínua.

Comparem aquesta variable amb aquesta altra: el nombre de vegades que surt cara en el llançament d'una moneda, a la qual anomenarem n.

La variable n pot prendre valors entre 0 i infinit, però n no és una variable contínua ja que no pot prendre el valor 1,3 o 1,5, a causa que entre valors 1 i 2 no hi ha cap altre. Aquest és un exemple de variable discreta.

Exercici de variables contínues

Considereu el següent exemple: una màquina produeix llumins de fòsfor i els empaca en la seva caixa. Es defineixen dues variables estadístiques:

La longitud de l'verderola nominal és 5,0 cm amb una tolerància de 0,1 cm. El nombre de llumins per caixa és 50 amb una tolerància de 3.

a) Indiqueu el rang de valors que poden prendre L i N.

b) Quants valors pot prendre L?

c) Quants valors pot prendre n?

Digueu en cada cas si es tracta d'una variable discreta o contínua.

solució

Els valors de L estan compresos en l'interval; és a dir que el valor de L està en interval i la variable L pot prendre infinits valors entre aquestes dues mesures. Es tracta llavors d'una variable contínua.

El valor de la variable n està en l'interval. La variable n només pot prendre 6 valors possibles en l'interval de tolerància, es tracta llavors d'una variable discreta.

exercici de

Si a més de ser contínua, els valors que pren la variable tenen associada una determinada probabilitat d'ocurrència, llavors es tracta d'una variable aleatòria contínua. És molt important distingir si la variable és discreta o és contínua, ja que els models probabilístics aplicables a unes i altres són diferents.

Una variable aleatòria contínua queda completament definida quan es coneixen els valors que pot assumir, i la probabilitat que té cada un d'ells de succeir.

-Exercici 1 de probabilitats

La fàbrica de llumins les fa de tal manera que la longitud dels palets sempre està entre els valors 4,9 cm i 5,1 cm, i zero fora d'aquests valors. Hi ha la probabilitat d'obtenir un palet que mesuri entre 5,00 i 5,05 cm, encara que també podríem extreure un 5.0003 cm. Són igualment probables aquests valors ?.

solució

Suposem que la densitat de probabilitat és uniforme. A continuació es llisten les probabilitats de trobar un fòsfor amb determinada longitud:

-Que un llumí es trobi en el rang té probabilitat = 1 (o de l'100%), ja que la màquina no treu llumins fora d'aquests valors.

-Trobar un llumí que estigui entre 4,9 i 5,0 té probabilitat = ½ = 0,5 (50%), ja que és la meitat de la franja de longituds.

-I la probabilitat que el llumí tingui longitud entre 5,0 i 5,1 també és 0,5 (50%)

-Es sap que no hi ha palets de fòsfor que tinguin una longitud compresa entre 5,0 i 5,2. Probabilitat: zero (0%).

Probabilitat de trobar un escuradents en un rang determinat

Ara observem les següents probabilitats P d'obtenir palets la longitud estigui compresa entre l ₁ il ₂:

-P que un cerillo tingui una longitud compresa entre 5,00 i 5,05 es denota com P ():

-P que el albellatge tingui longitud entre 5,00 i 5,01 és:

-P que el albellatge tingui longitud entre 5,000 i 5,001 és encara menor:

Si seguim disminuint l'interval per a apropar-nos més i més a 5,00, la probabilitat que un escuradents tingui exactament 5,00 cm és zero (0%). El que sí que tenim és la probabilitat de trobar un llumí dins d'un rang determinat.

Probabilitat de trobar diversos escuradents en un rang determinat

Si els esdeveniments són independents la probabilitat que dos escuradents estiguin en determinat rang és el producte de les probabilitats.

-La probabilitat que dos escuradents estiguin entre 5,0 i 5,1 és 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-La probabilitat que 50 escuradents estiguin entre 5,0 i 5,1 és (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, és a dir gairebé nul·la.

-La probabilitat que 50 escuradents estiguin entre 4,9 i 5,1 és (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercici 2 de probabilitats

En l'exemple anterior es va fer la suposició que la probabilitat és uniforme en l'interval donat, però no sempre és així.

En el cas de la màquina real que produeix els escuradents, la possibilitat que l'escuradents estigui en el valor central és major a que estigui en un dels valors extrems. Des del punt de vista matemàtic això es modela amb una funció f (x) coneguda com a densitat de probabilitat.

La probabilitat que la mesura L aquest compresa entre aib es calcula mitjançant la integral definida de la funció f (x) entre ai b.

Com a exemple suposem que volem trobar la funció f (x), que representa una distribució uniforme entre els valors 4,9 i 5,1 de l'exercici 1.

Si la distribució de probabilitat és uniforme, llavors f (x) és igual a la constant c, que es determina prenent la integral entre 4,9 i 5,1 de c. Com aquesta integral és la probabilitat, llavors el resultat ha de ser 1.

Figura 2. Densitat de probabilitat uniforme. (Elaboració pròpia)

El que vol dir que c val 1 / 0,2 = 5. És a dir la funció densitat de probabilitat uniforme és f (x) = {5 si 4,9≤x≤5,1 i 0 fora d'aquest rang. A la figura 2 es mostra una funció de densitat de probabilitat uniforme.

Cal notar com en intervals de la mateixa amplada (per exemple 0,02) la probabilitat és la mateixa en el centre que en extrem de el rang de la variable contínua L (llarg de escuradents).

Un model més realista seria una funció de densitat de probabilitat com el següent:

Figura 3. Funció densitat de probabilitat no uniforme. (Elaboració pròpia)

A la figura 3 es pot observar com la probabilitat de trobar escuradents entre 4,99 i 5,01 (ample 0,02) és més gran que la de trobar escuradents entre 4,90 i 4,92 (ample 0,02)

referències

1. Dinov, Ivo. Discrete Random Variables and Probability Distributions. Recobrat de: stat.ucla.edu
2. Discrete and Continuous Random Variables. Recobrat de: ocw.mit.edu
3. Discrete Random Variables and Probability Distributions. Recobrat de: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduction to Probability. Recuperat de: probability course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Estadística per Administració i Economia. Grup Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problemes de Variables Aleatòries i Models de probabilitat. Recobrat de: ugr.es.
7. Wikipedia. Variable contínua. Recuperat de wikipedia.com
8. Wikipedia. Variable estadístiques. Recuperat de wikipedia.com.