TRIANGLES: HISTÒRIA, ELEMENTS, CLASSIFICACIÓ, PROPIETATS - CIÈNCIA - 2025

Els triangles són figures geomètriques planes i tancades, que consten de tres costats. Un triangle es determina mitjançant tres rectes que es tallin dos a dos, formant entre si tres angles. La forma triangular, plena de simbolisme, està present en incomptables objectes i com a element de la construcció.

L'origen d'el triangle es perd en la història. A partir de l'evidència arqueològica se sap que la humanitat primitiva el coneixia bé, ja que les restes arqueològiques confirmen que era utilitzat en eines i armes.

Figura 1. Triangles. Font: Publicdomainpictures.

També és evident que els antics egipcis posseïen sòlids coneixements de la geometria i en particular de la forma triangular. Els mateixos van quedar plasmats en els elements arquitectònics de les seves construccions monumentals.

En el papir Rhind es troben fórmules per al càlcul d'àrees de triangles i trapezis, així com alguns volums i altres conceptes de trigonometria rudimentària.

Per la seva banda, se sap que els babilonis eren capaços de calcular l'àrea d'el triangle i altres figures geomètriques, que utilitzaven per a fins pràctics, com les divisions dels terrenys. També eren coneixedors de moltes propietats dels triangles.

No obstant això, van ser els antics grecs els que van sistematitzar molts dels conceptes geomètrics freqüents avui en dia, tot i que molt d'aquest saber no va ser exclusiu, ja que amb tota seguretat era compartit amb aquestes altres civilitzacions antigues.

Elements de el triangle

Els elements d'un triangle qualsevol s'indiquen en la següent figura. Són tres: vèrtexs, costats i angles.

Figura 2. Notació de triangles i els seus elements. Font: Wikimedia Commons, modificat per F. Zapata

-Vértices: són els punts d'intersecció de les rectes els segments determinen el triangle. A la figura superior per exemple, la recta L _AC que conté a l'segment AC, intersecta a la recta L _AB que conté a l'segment AB justament en el punt A.

- Costats: entre cada parella de vèrtexs es dibuixa un segment de recta que constitueix una banda de el triangle. Aquest segment es pot denotar amb les lletres dels extrems o usant una lletra específica per cridar-ho. En l'exemple de la figura 2, el costat AB també és anomenat "c".

- Angles: Entre cada costat amb un vèrtex comú s'origina un angle, el vèrtex coincideix amb el de l'triangle. Generalment l'angle es denota amb una lletra grega, tal com es va dir a l'començament.

Per construir un triangle en particular, amb una forma i mida donats, només cal tenir algun dels següents conjunts de dades:

-Els tres costats, força obvi tractant-se d'un triangle.

-Dos costats i l'angle entre ells, i immediatament es dibuixa el costat restant.

-Dos angles (interns) i el costat comprès entre ells. Per extensió es dibuixen els dos costats que falten i el triangle queda llest.

notació

Generalment en la notació de triangles s'utilitzen les següents convencions: els vèrtexs s'indiquen amb lletres llatines majúscules, els costats amb lletres llatines minúscules i els angles mitjançant lletres gregues (veure figura 2).

D'aquesta manera es nomena a el triangle segons els seus vèrtexs. Per exemple el triangle de l'esquerra a la figura 2 és el triangle ABC, i el de la dreta és el triangle A'B'C'.

També és possible usar altres notacions; per exemple, l'angle α a la figura 2 es denota com BAC. Cal notar que la lletra de l'vèrtex va en el medi i les lletres s'escriuen en sentit contrari a les agulles de el rellotge.

Altres vegades es col·loca un accent circumflex per denotar l'angle:

α = ∠A

Tipus de triangles

Hi ha diversos criteris de classificació de triangles. El més usual és classificar-los segons la mesura dels seus costats o segons la mesura dels seus angles. Segons la mesura dels seus costats, els triangles poden ser: escalens, isòsceles o equilàters:

-Escaleno: els seus tres costats són diferents.

-Isósceles: té dos costats iguals i un diferents.

-Equilátero: els tres costats són iguals.

Figura 3. Classificació dels triangles pels seus costats. Font: F. Zapata

D'acord a la mesura dels seus angles, els triangles s'anomenen així:

- Obtusangle, si un dels angles interns és més gran que 90º.

- Acutangle, quan els tres angles interns de el triangle són aguts, és a dir, menors de 90 º

- Rectangle, en el cas que un dels seus angles interns valgui 90º. Els costats que formen 90º s'anomenen catets i el costat oposat a l'angle recte és la hipotenusa.

Figura 4. Classificació dels triangles pels seus angles interns. Font: F. Zapata.

Congruència de triangles

Quan dos triangles tenen la mateixa forma i són de la mateixa mida es diu que són congruents. Per suposat la congruència està relacionada amb la igualtat, ¿llavors per què en geometria es parla de "dos triangles congruents" en comptes de "dos triangles iguals"?

Bé, es prefereix emprar el terme "congruència" per apegar-se a la veritat, ja que dos triangles poden tenir la mateixa forma i mida, però estar orientats de manera diferent en el pla (veure figura 3). Des del punt de vista de la geometria, ja no serien estrictament iguals.

Figura 5. Triangles congruents, però no necessàriament iguals, ja que la seva orientació en el pla és diferent. Font: F. Zapata.

Criteris de congruència

Dos triangles són congruents si ocorre alguna de les següents situacions:

-Els tres costats mesuren el mateix (novament això és el més obvi).

-Tenen dos costats idèntics i amb el mateix angle entre ells.

-Tots dos posseeixen dos angles interns idèntics i el costat comprès entre aquests angles mesura el mateix.

Com es pot veure, es tracta que els dos triangles compleixin les condicions necessàries perquè a l'construir-los, la seva forma i mida siguin exactament iguals.

Els criteris de congruència són molt útils, ja que en la pràctica, innombrables peces i parts mecàniques han de fabricar-se en sèrie, de manera que les seves mesures i forma siguin exactament les mateixes.

Semblança de triangles

Un triangle és semblant a un altre si tenen la mateixa forma, encara que siguin de diferent grandària. Per assegurar que la forma és la mateixa, es requereix que els angles interns tinguin el mateix valor i que els costats siguin proporcionals.

Figura 6. Dos triangles semblants: les seves grandàries difereixen però les seves proporcions són les mateixes. Font: F. Zapata.

Els triangles de la figura 2 també són semblants, així com els de la figura 6. D'aquesta manera:

Quant als costats, es compleixen les raons de semblança següents:

propietats

Les propietats fonamentals dels triangles són les següents:

-La suma dels angles interns de qualsevol triangle sempre és 180º.

-Per a qualsevol triangle, la suma dels seus angles externs és igual a 360 °.

- Un angle extern d'un triangle és igual a la suma dels dos angles interiors no adjacents a aquest angle.

teoremes

Primer teorema de Tales

Se li atribueixen a el filòsof i matemàtic grec Tales de Milet, qui va desenvolupar diversos teoremes relatius a la geometria. El primer d'ells estableix el següent:

Figura 7. El teorema de Tales. Font: F. Zapata.

En altres paraules:

a / a '= b / b' = c / c '

El primer teorema de Tales és aplicable a un triangle, per exemple es té el triangle blau ABC de l'esquerra, el qual es talla per les paral·leles vermelles a la dreta:

Figura 8. El teorema de Tales i els triangles semblants.

El triangle AB'C' de color violeta és semblant a el triangle blau ABC, per tant, d'acord a l'teorema de Tales, es pot escriure el següent:

AB' / AC' = AB / AC

I és d'acord amb el que s'ha explicat anteriorment en el segment de la semblança de triangles. Per cert, les rectes paral·leles també poden ser verticals o bé paral·leles a la hipotenusa i de la mateixa manera s'obtenen triangles semblants.

Segon teorema de Tales

Aquest teorema també es refereix a un triangle i una circumferència de centre O, com els que es mostren a continuació. En aquesta figura, AC és un diàmetre de la circumferència i B és un punt d'ella, sent B diferent de A i de B.

El segon teorema de Tales afirma que:

Figura 9. El segon teorema de Tales. Font: Wikimedia Commons. Inductiveload.

El teorema de Pitàgores

Aquest és un dels teoremes més famosos de la història. Es deu a l'matemàtic grec Pitàgores de Samos (569-475 a. C.) i és aplicable a un triangle rectangle. Diu així:

Si prenem com a exemple el triangle blau de la figura 8, o el triangle violeta, ja que tots dos són rectangles, llavors es pot afirmar que:

AC ² = AB ² + BC ² (triangle blau)

AC' ² = AB' ² + BC' ² (triangle violeta)

L'àrea d'un triangle

L'àrea de el triangle ve donada pel producte de la seva base ai la seva altura h, dividit entre 2. I per trigonometria, aquesta alçada es pot escriure com h = b senθ.

Figura 10. Àrea de el triangle. Font: Wikimedia Commons.

Exemples de triangles

exemple 1

S'explica que mitjançant el seu primer teorema, Tales va aconseguir mesurar l'altura de la Gran Piràmide a Egipte, una de les 7 meravelles de món antic, mesurant l'ombra que aquesta projectava a terra i la que projectava una estaca clavada a terra.

Aquest és l'esquema de l'procediment seguit per Tales:

Figura 11. Esquema per a mesurar l'altura de la Gran Piràmide mitjançant semblança de triangles. Font: Wikimedia Commons. dake

Tals va suposar encertadament que els raigs de Sol incideixen paral·lelament. Amb això en ment, va imaginar el triangle rectangle gran de la dreta.

Allà D és l'altura de la piràmide i C és la distància sobre el sòl mesurada des del centre fins a l'ombra projectada per la piràmide sobre el sòl de l'desert. Potser és laboriós mesurar C, però sens dubte és més fàcil de mesurar l'altura de la piràmide.

A l'esquerra hi ha el triangle petit, de catets A i B, on A és l'altura de l'estaca clavada verticalment a terra i B és l'ombra que projecta. Les dues longituds són mesurables, a l'igual que C (C és igual a la longitud de l'ombra + la meitat de la llargada de la piràmide).

Llavors, per semblança de triangles:

A / B = D / C

I l'altura de la Gran Piràmide resulta ser: D = C. (A / B)

exemple 2

Les armadures en construcció civil són estructures a base de barres primes rectes de fusta o de metall entrecreuades, que s'utilitzen com a suport en molts edificis. També se les coneix com gelosies, armadures o reticulats (truss en anglès).

En elles els triangles estan sempre presents, ja que les barres van interconnectades en punts anomenats nodes, que poden estar fixos o articulats.

Figura 12. El triangle és present en l'armadura d'aquest pont. Font: PxHere.

exemple 3

El mètode conegut com triangulació permet obtenir la ubicació de punts inaccessibles coneixent altres distàncies més fàcils de mesurar, a condició que es formi un triangle que inclogui entre els seus vèrtexs la localització desitjada.

Per exemple, en la següent figura es vol saber en quin punt de la mar hi ha el vaixell, denotat com B.

Figura 13. Esquema de triangulació per localitzar el vaixell. Font: Wikimedia Commons. Colette

En primer lloc es mesura la distància entre dos punts sobre la costa, que a la figura són A i C. De seguida cal determinar els angles α i β, amb ajuda d'un teodolit, un aparell que serveix per mesurar angles verticals i horitzontals.

Amb tota aquesta informació es construeix un triangle en el vèrtex superior hi ha el vaixell. Restaria calcular l'angle γ, mitjançant les propietats dels triangles i les distàncies AB i CB mitjançant la trigonometria, per determinar la posició de l'vaixell al mar.

exercicis

exercici 1

A la figura mostrada, els raigs de sol són paral·lels. D'aquesta manera l'arbre de 5 metres d'altura projecta una ombra de 6 metres des del terra. A aquesta mateixa hora, l'ombra de l'edifici és de 40 metres. Seguint el primer teorema de Tales, trobi l'altura de l'edifici.

Figura 14. Esquema per a l'exercici resolt 1. Font: F. Zapata.

solució

El triangle vermell té costats de 5 i 6 metres respectivament, mentre que el blau té altura H -la alçada de l'edifici- i base 40 metres. Tots dos triangles són semblants, per tant:

exercici 2

Es necessita conèixer la distància horitzontal entre dos punts A i B, però estan situats sobre un terreny molt irregular.

Aproximadament en el punt mitjà (P _m) de l'esmentat terreny sobresurt una prominència de 1.75 metres d'altura. Si la cinta mètrica indica 26 metres de longitud mesurats des de A fins a la prominència, i 27 metres des de B fins al mateix punt, trobe la distància AB.

Figura 15. Esquema per a l'exercici resolt 2. Font: Jiménez, R. Matemàtiques II. Geometria i Trigonometria.

solució

S'aplica el teorema de Pitàgores a un dels dos triangles rectangles de la figura. Començant pel de l'esquerra:

Hipotenusa = c = 26 metres

Alçada = a = 1.75 metres

AP _m = (26 ^febrer - 1.75 ²) ^1/2 = 25.94 m

Ara s'aplica Pitàgores en el triangle de la dreta, aquest cop c = 27 metres, a = 1.75 metres. Amb aquests valors:

BP _m = (27 ^febrer - 1.75 ²) ^1/2 = 26.94 m

La distància AB es troba sumant aquests resultats:

AB = 25.94 m + 26.94 m = 52.88 m.

referències

1. Baldor, JA 1973.Geometría plana i de l'espai. Cultural centreamericana.
2. Barredo, D. La geometria de el triangle. Recuperat de: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matemàtiques II. Geometria i Trigonometria. Segona Edició. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperat de: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangle. Recuperat de: és. wikipedia.org.