TRAJECTÒRIA EN FÍSICA: CARACTERÍSTIQUES, TIPUS, EXEMPLES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

La trajectòria en física és la corba que descriu un mòbil a el passar per successius punts durant el seu moviment. Atès que aquest pot adoptar infinitat de variants, així també seran les trajectòries que el mòbil pot seguir.

Per anar d'un lloc a un altre, una persona pot prendre diferents camins i diferents maneres: a peu a través de les voreres en carrers i avingudes, o arribant en cotxe o moto per una autopista. Durant un passeig pel bosc, el caminant pot seguir una trajectòria complicada que inclogui voltes, pujar o baixar de nivell i fins a passar diverses vegades per un mateix punt.

Figura 1. Unint els punts extrems de cada vector de posició s'obté la trajectòria seguida per la partícula. Font: Algaravia

Si els punts pels quals va transitant el mòbil segueixen una línia recta, la trajectòria serà rectilínia. Aquesta és la trajectòria més simple, per ser unidimensional. Especificar la posició requereix d'una sola coordenada.

Però el mòbil pot seguir una trajectòria curvilínia, podent ser tancada o oberta. En aquests casos, el seguiment de la posició requereix de dos o tres coordenades. Es tracta de moviments en el pla i en l'espai respectivament. Això té a veure amb els vincles: condicions materials limitants de el moviment. Alguns exemples són:

- Les òrbites que descriuen els planetes al voltant d'el sol són trajectòries tancades amb forma d'el·lipse. Si bé, en alguns casos, es poden aproximar a una circular, com en el cas de la Terra.

- La pilota que el porter patea en un servei de meta segueix una trajectòria parabòlica.

- Un au en vol descriu trajectòries curvilínies en l'espai, perquè a més de moure sobre un pla, pot pujar o baixar de nivell a voluntat.

La trajectòria en física es pot expressar matemàticament quan es coneix la posició del mòbil en qualsevol instant de temps. Sigui r el vector de posició, el qual al seu torn té coordenades x, yiz en el cas més general d'un moviment en tres dimensions. A el conèixer la funció r (t) la trajectòria quedarà completament determinada.

tipus

En termes generals, la trajectòria pot ser una corba més aviat complicada, sobretot si es vol expressar matemàticament. Per això, es comença amb els models més simples, on els mòbils viatgen sobre una línia recta o bé sobre un pla, que pot ser el de el pis o qualsevol altre adequat:

Moviments en una, dues i tres dimensions

Les trajectòries més estudiades són:

- Rectilínia, a l'transitar sobre una línia recta horitzontal, vertical o inclinada. Una pilota llançada verticalment cap amunt segueix aquesta trajectòria o un objecte que rellisca costa avall per un pla inclinat també. Són moviments unidimensionals, bastant una sola coordenada per determinar la seva posició completament.

- Parabòlica, en la qual el mòbil descriu un arc de paràbola. És freqüent, ja que qualsevol objecte llançat obliquament sota l'acció de la gravetat (un projectil) segueix aquesta trajectòria. Per especificar la posició del mòbil cal donar dues coordenades: xiy.

- Circular, ocorre quan la partícula en moviment segueix una circumferència. També és comú en la naturalesa i en la pràctica diària. Molts objectes quotidians segueixen una trajectòria circular com els pneumàtics, peces de maquinària i satèl·lits en òrbita, per posar alguns exemples.

- El·líptica, l'objecte es mou seguint una el·lipse. Com es va dir a l'inici, és la trajectòria que segueixen els planetes en òrbita al voltant de el sol.

- Hiperbòlica, objectes astronòmics sota l'acció d'una força central (la gravetat), poden seguir trajectòries el·líptiques (tancades) o hiperbòliques (obertes), sent aquestes menys freqüents que les primeres.

- Helicoidal, o moviment en espiral, com el d'un au que ascendeix a un corrent tèrmica.

- Vaivén o pendular, el mòbil descriu un arc en moviments d'anada i tornada.

exemples

Les trajectòries descrites en l'apartat anterior són molt útils per a fer-se una idea ràpidament de com és el moviments d'un objecte. En tot cas, cal aclarir que la trajectòria d'un mòbil depèn de la ubicació de l'observador. Això significa que un mateix esdeveniment pot ser vist de formes diferents, segons on es trobi cada qui.

Per exemple una nena pedaleja a velocitat constant i llança cap amunt una pilota. Ella observa que la pilota descriu una trajectòria rectilínia.

No obstant això per a un observador parat a la via que la veu passar, la pilota tindrà un moviment parabòlic. Per a ell, la pilota va ser llançada inicialment amb una velocitat inclinada, resultat de la velocitat cap amunt per la mà de la nena més la velocitat de la bicicleta.

Figura 2. Aquesta animació mostra el llançament vertical d'una pilota fet per una nena que va en bicicleta, com ella ho veu (trajectòria rectilínia) i com el veu un observador (trajectòria parabòlica). (Elaborat per F. Zapata).

Trajectòria d'un mòbil en forma explícita, implícita i paramètrica

- Explícita, especificant directament la corba o lloc geomètric donat per l'equació y (x)

- Implícita, en la qual una corba s'expressa com f (x, y, z) = 0

- Paramètrica, en aquesta forma es donen les coordenades x, yiz en funció d'un paràmetre que, en general, es tria com el temps t. En aquest cas, la trajectòria es compon de les funcions: x (t), y (t) iz (t).

A continuació, es detallen dues trajectòries molt estudiades en cinemàtica: la trajectòria parabòlica i la trajectòria circular.

Llançament inclinat en el buit

Es llança un objecte (el projectil) formant un angle a amb l'horitzontal i amb velocitat inicial v _o com es mostra a la figura. No es té en compte la resistència de l'aire. El moviment es pot tractar com dos moviments independents i simultanis: un horitzontal amb velocitat constant i un altre vertical sota l'acció de la gravetat.

Aquestes equacions són les equacions paramètriques de el llançament de projectils. Tal com es va explicar anteriorment, tenen en comú el paràmetre t, que és el temps.

En el triangle rectangle de la figura s'aprecia el següent:

Figura 3. Trajectòria parabòlica seguida per un projectil, en la qual es mostren les components de el vector velocitat. H és l'altura màxima i R és l'abast horitzontal màxim. Font: Ayush12gupta

A l'substituir aquestes equacions que contenen l'angle de llançament a les equacions paramètriques resulta:

Equació de la trajectòria parabòlica

L'equació explícita de la trajectòria es troba aclarint t de l'equació per x (t) i substituint en l'equació de y (t). Per facilitar la feina algebraic pot suposar-se que l'origen (0,0) se situa en el punt de llançament i d'aquesta manera x _o = i _o = 0.

Aquesta és l'equació de la trajectòria en forma explícita.

trajectòria circular

Una trajectòria circular ve donada per:

Figura 4. Una partícula es mou en una trajectòria circular sobre el pla. Font: modificat per F. Sabata de Wikimedia Commons.

Aquí x _o y _o representen el centre de la circumferència descrita pel mòbil i R és el radi de la mateixa. P (x, y) és un punt de la trajectòria. De el triangle rectangle ombrejat (figura 3) s'adverteix que:

El paràmetre, en aquest cas, és l'angle escombrat θ, anomenat desplaçament angular. En el cas particular que la velocitat angular ω (angle escombrat per unitat de temps) sigui constant, es pot afirmar que:

On θ _o és la posició angular inicial de la partícula, que si es pren com a 0, es redueix a:

En aquest cas, el temps torna a les equacions paramètriques com:

Els vectors unitaris i i j són molt convenients per a escriure la funció de posició d'un objecte r (t). Ells indiquen les direccions en l'eix xi en l'eix i respectivament. En els seus termes, la posició d'una partícula que descriu un Moviment Circular Uniforme és:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

exercicis resolts

Exercici resolt 1

Un canó pot disparar una bala amb una velocitat de 200 m / si un angle de 40º respecte a l'horitzontal. Si el llançament es realitza en terreny pla i es menysprea la resistència de l'aire, trobi:

a) L'equació de la trajectòria i (x)..

b) Les equacions paramètriques x (t) ii (t).

c) L'abast horitzontal i el temps que dura el projectil en l'aire.

d) L'altura a la qual es troba el projectil quan x = 12.000 m

Solució a)

a) Per trobar la trajectòria es substitueixen els valors donats en l'equació y (x) de la secció precedent:

Solució b)

b) Es tria el punt de llançament a l'origen de el sistema de coordenades (0,0):

Solució c)

c) Per trobar el temps que el projectil dura en l'aire, es fa i (t) = 0, sent el llançament es fa en terreny pla:

L'abast màxim horitzontal es troba substituint aquest valor en x (t):

Una altra manera de trobar x _max directament és fent i = 0 en l'equació de la trajectòria:

Hi ha una petita diferència a causa de l'arrodoniment dels decimals.

Solució d)

d) Per saber l'alçada quan x = 12000 m se substitueix aquest valor directament en l'equació de la trajectòria:

Exercici resolt 2

La funció de posició d'un objecte ve donada per:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

trobar:

a) L'equació per a la trajectòria. Què corba és?

b) La posició inicial i la posició quan t = 2 s.

c) El desplaçament efectuat a el cap de t = 2 s.

solució

a) La funció de posició ha estat donada en termes dels vectors unitaris i i j, que determinen respectivament la direcció en els eixos xiy, per tant:

L'equació de la trajectòria i (x) es troba aclarint t de x (t) i substituint en i (t):

b) La posició inicial és: r (2) = 4 j m; la posició en t = 2 s és r (2) = 6 i -16 j m

c) El desplaçament D r és la resta dels dos vectors de posició:

Exercici resolt 3

La Terra té un radi R = 6300 km i se sap que el període de rotació del seu moviment al voltant del seu eix és d'un dia. trobar:

a) L'equació de la trajectòria d'un punt sobre la superfície terrestre i la seva funció de posició.

b) La velocitat i l'acceleració d'aquest punt.

Solució a)

a) La funció de posició per a un punt qualsevol en òrbita circular és:

r (t) = R.cos ω t i + R.sen ω t j

Es té el radi de la Terra R, però no la velocitat angular ω, però es pot calcular de el període, sabent que per al moviment circular és vàlid dir que:

El període de el moviment és: 1 dia = 24 hores = 1440 minuts = 86400 segons, per tant:

Substituint en la funció de posició:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j) km

La trajectòria en forma paramètrica és:

Solució b)

b) Per al moviment circular, la magnitud de la velocitat lineal v d'un punt està relacionada amb la velocitat angular w mitjançant:

Tot i ser un moviment amb rapidesa constant de 145.8 m / s, hi ha una acceleració que apunta cap al centre de l'òrbita circular, encarregada de mantenir a el punt en rotació. És l'acceleració centrípeta a _c, donada per:

referències

1. Giancoli, D. Physics. (2006). Principles with Applications. 6 ^th Prentice Hall. 22- 25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada a l'món. 6 ^ta Edició abreujada. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Física. Volum 1. Tercera edició en espanyol. Mèxic. Companyia Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fonaments de Física. Pearson. 33-36
5. Sears, Zemansky. (2016). University Physics with Modern Physics. 14 ^th. Ed. Volume1. 50-53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7 ^ma. Edició. Mèxic. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fonaments de Física. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43-55.
8. Wilson, J. (2011). Física 10. Pearson Educació. 133-149.