TEOREMA DE TORRICELLI: EN QUÈ CONSISTEIX, FÓRMULES I EXERCICIS - FÍSICA - 2025

El teorema de Torricelli o principi de Torricelli afirma que la velocitat de el líquid que surt per l'orifici a la paret d'un tanc o recipient, és idèntica a la que adquireix un objecte que es deixa caure lliurement des d'una alçada igual a la de la superfície lliure de el líquid fins al orifici.

El teorema es mostra a la figura següent:

Il·lustració de el teorema de Torricelli. Font: elaboració pròpia.

A causa de el teorema de Torricelli podem afirmar llavors que la velocitat de sortida de el líquid per un orifici que està a altura h per sota de la superfície lliure de el líquid ve donada per la següent fórmula:

On g és l'acceleració de gravetat i h és l'altura que hi ha des de l'orifici fins a la superfície lliure de el líquid.

Evangelista Torricelli va ser un físic i matemàtic nascut a la ciutat de Faenza, Itàlia l'any 1608. A Torricelli se li atribueix la invenció de el baròmetre de mercuri i com a reconeixement hi ha una unitat de pressió anomenada "torre", equivalent a un mil·límetre de mercuri (mm d'Hg).

Demostració de l'teorema

En el teorema de Torricelli i en la fórmula que dóna la velocitat, suposa que les pèrdues per viscositat són menyspreables, a l'igual que a la caiguda lliure se suposa que la fricció deguda a l'aire que circumda a l'objecte que cau és insignificant.

La suposició anterior és raonable en la majoria dels casos i més implica la conservació de l'energia mecànica.

Per demostrar el teorema, en primer lloc trobarem la fórmula de la velocitat per a un objecte que es deixa anar amb rapidesa inicial zero, des de la mateixa altura que la superfície líquida en el dipòsit.

S'aplicarà el principi de conservació de l'energia per obtenir la velocitat de l'objecte que cau just quan hagi baixat una altura h igual a la que hi ha des de l'orifici fins a la superfície lliure.

Com no hi ha pèrdues per fricció, és vàlid aplicar el principi de conservació de l'energia mecànica. Suposem que l'objecte que cau té massa mi l'altura h es mesura des del nivell de sortida de el líquid.

Objecte que cau

Quan l'objecte es deixa anar des d'una alçada igual a la de la superfície lliure de el líquid, la seva energia és només potencial gravitatòria, ja que la seva rapidesa és zero i per tant la seva energia cinètica és nul·la. L'energia potencial Ep està donada per:

Ep = mgh

Quan va passant davant de l'orifici seva altura és zero, llavors l'energia potencial és zero, de manera que només té energia cinètica Ec donada per:

Ec = ½ mv ²

Atès que l'energia es conserva Ep = Ec del que s'obté:

½ mv ² = mgh

Aïllant la rapidesa v s'obté llavors la fórmula de Torricelli:

Líquid que surt per l'orifici

A continuació trobarem la velocitat de sortida de el líquid a través de l'orifici, amb la finalitat de demostrar que coincideix amb la que recentment es va calcular per a un objecte que cau lliurement.

Per això ens basarem en la principi de Bernoulli, que no és més que la conservació de l'energia aplicada a fluids.

El principi de Bernoulli es formula així:

La interpretació d'aquesta fórmula és la següent:

• El primer terme representa l'energia cinètica de l'fluid per unitat de volum
• El segon representa el treball realitzat per la pressió per unitat d'àrea transversal
• El tercer representa l'energia potencial gravitacional per unitat de volum de fluid.

Com partim de la premissa que es tracta d'un fluid ideal, en condicions no turbulentes amb velocitats relativament baixes, llavors és pertinent afirmar que l'energia mecànica per unitat de volum en el fluid és constant en totes les regions o seccions transversals de la mateixa.

En aquesta fórmula V és la velocitat de l'fluid, ρ la densitat de el fluid, P la pressió i z la posició vertical.

A la figura que apareix més avall es demostra la fórmula de Torricelli partint del principi de Bernoulli.

Apliquem la fórmula de Bernoulli en la superfície lliure de el líquid que denotem per (1) i en l'orifici de sortida que denotem per (2). El nivell d'altura zero s'ha triat arran amb l'orifici de sortida.

Sota la premissa que la secció transversal a (1) és molt més gran que en (2), podem suposar llavors que la velocitat de descens de el líquid a (1) és pràcticament menyspreable.

Per això s'ha col·locat V ₁ = 0, la pressió a la qual està sotmesa el líquid a (1) és la pressió atmosfèrica i l'alçada mesura des de l'orifici és h.

Per a la secció de sortida (2) suposem que la velocitat de sortida és v, la pressió a la qual està sotmesa el líquid a la sortida també és la pressió atmosfèrica i l'alçada de sortida és zero.

Se substitueixen els valors corresponents a l'les seccions (1) i (2) en la fórmula de Bernoulli i s'igualen. La igualtat té validesa perquè es suposem que el fluid és ideal i no hi ha pèrdues per fricció viscosa. Un cop simplificats tots els termes, s'obté la velocitat en l'orifici de sortida.

El requadre anterior demostra que el resultat obtingut és el mateix que el d'un objecte que cau lliurement,

exercicis resolts

exercici 1

I) El petit tub de sortida d'un tanc d'aigua està a 3 m per sota de la superfície de l'aigua. Calculeu la velocitat de sortida de l'aigua.

solució:

A la figura següent es mostra com s'aplica la fórmula de Torricelli a aquest cas.

exercici 2

II) Suposant que el tub de sortida de l'tanc de l'exercici anterior, té un diàmetre d'1 cm, calculeu el cabal de sortida d'aigua.

solució:

El cabal és el volum de líquid que surt per unitat de temps, i es calcula simplement multiplicant l'àrea de l'orifici de sortida per la velocitat de sortida.

La següent figura mostra els detalls de l'càlcul.

exercici 3

III) Determineu a quina altura està la superfície lliure de l'aigua en un recipient si se sap

que en un orifici en el fons de l'recipient, l'aigua surt a 10 m / s.

solució:

Tot i que l'orifici està en el fons de l'recipient, pot seguir-aplicant la fórmula de Torricelli.

La següent figura mostra el detall dels càlculs.

referències

1. Wikipedia. Teorema de Torricelli.
2. Hewitt, P. Conceptual Physical Science. Fifth edition.119.
3. Young, Hugh. 2016. Sears-Zemansky 's University Physics with Modern Physics. 14th Ed. Pearson. 384.