TEOREMA DE THÉVENIN: EN QUÈ CONSISTEIX, APLICACIONS I EXEMPLES - FÍSICA - 2025

El teorema de Thévenin afirma que un circuit amb terminals A i B pot ser substituït per un equivalent que consti d'una font i una resistència en sèrie, els valors donen la mateixa diferència de potencial entre A i B i la mateixa impedància que el circuit original.

Aquest teorema va ser donat a conèixer en l'any 1883 per l'enginyer francès Léon Charles Thévenin, però s'afirma que va ser enunciat trenta anys abans pel físic alemany Hermann von Helmholtz.

Figura 1. Teorema de Thévenin. Font: Elaboració pròpia

La seva utilitat rau en el fet que, tot i que el circuit original sigui complex o desconegut, per a efectes d'una càrrega o impedància que es col·loqui entre els terminals A i B, el senzill circuit equivalent de Thévenin es comporta igual que l'original.

¿Com es calcula la tensió equivalent pas a pas?

La tensió o diferència de potencial d'circuit equivalent es pot obtenir de les següents maneres:

- De forma experimental

Obtenció de l'voltatge equivalent de Thévenin

Si es tracta d'un aparell o equip que està en una "caixa negra" es procedeix a mesurar la diferència de potencial entre les terminals A i B amb un voltímetre o amb un oscil·loscopi. És molt important que no es col·loqui cap càrrega o impedància entre les terminals A i B.

Un voltímetre o un oscil·loscopi no representen cap càrrega per a les terminals, ja que tots dos equips tenen una impedància molt gran (idealment infinita) i seria com si les terminals A i B estiguessin sense càrrega. El voltatge o tensió obtinguda d'aquesta manera és la tensió equivalent de Thévenin.

Obtenció de la impedància equivalent de Thévenin

Per obtenir la impedància equivalent a partir d'un mesurament experimental es col·loca una resistència coneguda entre les terminals A i B i es mesura la caiguda de tensió o el senyal de voltatge amb un oscil·loscopi.

A partir de la caiguda de tensió en la resistència coneguda entre les terminals, es pot obtenir el corrent que circula a través de la mateixa.

El producte del corrent obtinguda amb la resistència equivalent més la caiguda de tensió mesura la resistència coneguda és igual a el voltatge equivalent de Thévenin prèviament obtingut. D'aquesta igualtat es buida la impedància equivalent de Thévenin.

- Resolent el circuit

Càlcul de l'voltatge equivalent de Thévenin

En primer lloc es desconnecta tota càrrega o impedància de les terminals A i B.

Com es coneix el circuit s'aplica la teoria de malles o les lleis de Kirchhoff per trobar la tensió a les terminals. Aquesta tensió serà la equivalent de Thévenin.

Càlcul de la impedància equivalent de Thévenin

Per obtenir la impedància equivalent es procedeix a:

- Substituir les fonts de voltatge de circuit original per curtcircuits "impedància zero" i les fonts de corrent de l'circuit original per oberts "impedància infinita".

- Després es calcula la impedància equivalent seguint les regles d'impedàncies en sèrie i impedàncies en paral·lel.

Aplicacions de l'teorema de Thévenin (part I)

Aplicarem el teorema de Thévenin per resoldre alguns circuits. En aquesta primera part considerem un circuit que només posseeix fonts de tensió i resistències.

Exemple 1a (càlcul de la tensió equivalent pas a pas)

La figura 2 mostra el circuit que està en un requadre celeste el qual té dues bateries de força electromotriu V1 i V2 respectivament i les resistències R1 i R2, el circuit té terminals A i B en els quals pot connectar una càrrega.

Figura 2. Exemple 1 de teorema de Thévenin. Font: Elaboració Pròpia

L'objectiu és trobar el circuit equivalent de Thévenin, és a dir, determinar els valors Vt i Rt de l'circuit equivalent. Apliqui els següents valors: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω i R = 1Ω.

Solució pas a pas

pas 1

Determinarem la tensió en els terminals A i B quan no se'ls col·loca cap càrrega.

pas 2

El circuit a resoldre consta d'una única malla per la qual circula un corrent I que l'hem pres positiva en el sentit horari.

pas 3

Recorrem la malla començant amb la cantonada inferior esquerra. El recorregut condueix a la següent equació:

V1 - I * R1 - I * R2 - V2 = 0

pas 4

Aïllem el corrent de malla I i obtenim:

I = (V1 -V2) / (R1 + R2) = (4V - 1V) / (3Ω + 6Ω) = ⅓ A

pas 5

Amb el corrent de malla podem determinar la diferència de tensió o voltatge entre A i B, la qual és:

Vab = V1 - I * R1 = 4V - ⅓ A * 3Ω = 3V

És a dir que el voltatge equivalent de Thévenin és: Vt = 3V.

Pas 6 (Resistència equivalent de Thévenin)

Procedim ara a calcular la resistència equivalent de Thévenin, per la qual cosa i segons s'havia dit anteriorment, es substitueixen les fonts de voltatge per un cable.

En aquest cas, només tenim dues resistències en paral·lel, de manera que la resistència equivalent de Thévenin és:

Rt = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Exemple 1b (corrent a la càrrega usant l'equivalent Thévenin)

Connectar com a càrrega a les terminals A i B una resistència R = 1Ω a l'circuit equivalent i trobar el corrent que circula per aquesta càrrega.

solució

Quan es connecta la resistència R a l'circuit equivalent de Thevenin es té un circuit simple que consta d'una font Vt una resistència Rt en sèrie amb la resistència R.

Anomenarem Ic al corrent que circula per la càrrega R, de manera que l'equació de malla queda així:

Vt - Ic * Rt - Ic * R = 0

del que es dedueix que Ic està donat per:

Ic = Vt / (Rt + R) = 3V / (2Ω + 1Ω) = 1 A

Comprovació de l'teorema de Thévenin

Per verificar que es compleix el teorema de Thévenin, connecti R a l'circuit original i trobi el corrent que circula per R aplicant la llei de les malles a l'circuit resultant.

El circuit resultant queda i les seves equacions de malla queden com es mostra en la següent figura:

Figura 3. Corrents de malla. (Elaboració pròpia)

Sumant les equacions de malla, és possible trobar el corrent de malla I1 en funció del corrent I2. Després es substitueix en la segona equació de malla i queda una equació amb I2 com a única incògnita. El següent quadre mostra les operacions.

Figura 4. Detall de les operacions. (Elaboració pròpia)

Després es substitueixen els valors de la resistència i voltatges de les fonts, i s'obté el valor numèric del corrent de malla I2.

Figura 5. Detall de resultats. (Elaboració pròpia)

El corrent de malla I2 és el corrent que circula per la resistència de càrrega R i el valor trobat de 1 A coincideix plenament amb el que va ser trobat prèviament amb el circuit equivalent de Thévenin.

Aplicació de l'teorema de Thévenin (part II)

En aquesta segona part s'aplicarà el teorema de Thévenin en un circuit que posseeix fonts de tensió, font de corrent i resistències.

Exemple 2a (Resistència equivalent de Thévenin)

L'objectiu és determinar el circuit equivalent de Thévenin corresponent a el circuit de la figura següent, quan els terminals estan sense la resistència d'1 ohm, després es col·loca la resistència i es determina el corrent circulant per la mateixa.

Figura 6. Circuit exemple 2. (elaboració pròpia)

solució

Per trobar la resistència equivalent es retira la resistència de càrrega (en aquest cas la d'1 ohm). A més, les fonts de voltatge es substitueixen per un curt circuit i les fonts de corrent per un circuit obert.

D'aquesta manera, el circuit a què se li calcularà la resistència equivalent és el que es mostra a continuació:

Figura 7. Detall per al càlcul de la resistència equivalent (elaboració pròpia)

Rab = (12Ω * 4Ω) / (12Ω + 4Ω) = 3Ω que és la resistència equivalent de Thevenin (Rth).

exemple 2b

Calculi el voltatge equivalent de Thévenin.

solució

Per calcular el voltatge equivalent de Thévenin considerem el circuit següent, en què col·locarem els corrents en les I1 i I2 en les branques assenyalades en la següent figura:

Figura 8. Detalls per al càlcul de la tensió de Thévenin. (Elaboració pròpia)

A la figura anterior es mostren l'equació dels nodes de corrent i les equació de tensions quan es recorre la malla externa. De la segona de les equacions es buida el corrent I1:

I1 = 2 - I 2 * (5/3)

Aquesta equació es substitueix en l'equació dels nodes:

I2 = 2 - (5/3) I2 + 2 ===> I2 (8/3) = 4 ===> I2 = 12/8 = 1,5 A

Això vol dir que la caiguda de tensió en la resistència de 4 ohms és de 6 volts.

En síntesi la tensió de Thévenin és Vth = 6 V.

exemple 2c

Trobar el circuit equivalent de Thevenin i corrent en la resistència de càrrega.

Figura 9. Corrent en la càrrega amb equivalent Thévenin. (Elaboració pròpia)

solució

A la figura anterior es mostra el circuit equivalent de Thévenin amb la resistència de càrrega R. De l'equació de tensió en la malla es dedueix el corrent I que circula per la resistència de càrrega R.

I = Vth / (Rth + R) = 6V / (3Ω + 1Ω) = 1,5 A

Aplicació de l'teorema de Thévenin (part III)

En aquesta tercera part d'aplicació de l'teorema de Thévenin es considera un circuit de corrent altern que conté una font de tensió alterna, un condensador, una inductància i una resistència.

exemple 3

L'objectiu és trobar el Circuit de Thévenin equivalent de el següent circuit:

Figura 10. Thévenin en un circuit de corrent altern. (Elaboració pròpia)

solució

La impedància equivalent correspon a la de l'condensador en paral·lel amb la combinació en sèrie de la resistència i la inductància.

L'invers de la impedància equivalent està donat per:

Zeq ^ -1 = (-5j) ^ - 1 + (5 + 5j) ^ - 1 = (1/5) j + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3 / 10 j) mho

I la impedància equivalent serà llavors:

Zeq = (1 - 3.j) Ohm

El corrent complexa I pot deduir de l'equació de malla:

50V∠0 - I (-5 j + 5 + 5j) = 50V∠0 - I * 5 = 0 ===> I = 10A ∠0

Ara es calcula la caiguda de tensió en la resistència més la inductància, és a dir la tensió VAB que serà la tensió equivalent de Thévenin:

Vab = I * (5 + 5 j) Ω = 10A ∠0 * 5Ω∠45º = 50V∠45º

És a dir que la tensió equivalent té el mateix valor pic de la font original però està desfasada 45 graus: Vth = 50V∠45º

referències

1. Electronics tutorials, Thevenin 's theorem. Recuperat de: electronics-tutorials.ws
2. Network theory questions and answers. Thevenin 's theorem. Recobrat de: sanfoundry.com
3. Thevenin 's theorem. Step by step procedure. Recuperat de: electricaltechnology.org
4. Thevenin 's theorem. Solved example step by step. Recuperat de: electricalsimple.blogspot.com
5. Workshop on Thevenin 's and Norton s theorems. Recuperat de: web.iit.edu
6. Wikipedia. Teorema de Thévenin. Recuperat de: wikipedia.com