TEOREMA DE SUPERPOSICIÓ: EXPLICACIÓ, APLICACIONS, EXERCICIS RESOLTS - FÍSICA - 2025

El teorema de superposició, en circuits elèctrics, estableix que el voltatge entre dos punts, o el corrent a través d'ells, és la suma algebraica dels voltatges (o dels corrents si és el cas), deguts a cada font, com si cadascuna actués de manera independent.

Aquest teorema permet analitzar circuits lineals que continguin més d'una font independent, ja que només es requereix calcular la contribució de cadascuna per separat.

La dependència lineal és determinant perquè el teorema s'apliqui. Un circuit lineal és aquell la resposta és directament proporcional a l'entrada.

Per exemple, la llei d'Ohm aplicada a una resistència elèctrica estableix que V = · R, on V és el voltatge, R és la resistència ei és el corrent. Es tracta llavors d'una dependència lineal de l'voltatge i el corrent en una resistència.

En circuits lineals, el principi de superposició s'aplica tenint en compte el següent:

-Hi ha de considerar cada font de voltatge independent per separat i per a això cal apagar tots els altres. Només cal posar a 0 V totes les que no estiguin sota anàlisi o bé substituir-les en l'esquema amb un curtcircuit.

-Si la font és de corrent llavors cal obrir el circuit.

-Quan es considera la resistència interna de les fonts tant de corrent com de voltatge, aquestes han de romandre en el seu lloc, formant part de la resta de l'circuit.

-Si hi ha fonts dependents, han de quedar tal qual com apareixen en el circuit.

aplicacions

El teorema de superposició s'utilitza per obtenir circuits més senzills i fàcils de manejar. Però s'ha de tenir present sempre que només s'aplica per a aquells amb respostes lineals, tal com es va dir a l'començament.

Llavors no es pot utilitzar directament per calcular la potència per exemple, ja que la potència està relacionada amb el corrent mitjançant:

Ja que el corrent està elevada a l'quadrat, la resposta no és lineal. Tampoc és aplicable a circuits magnètics en què intervenen transformadors.

D'altra banda, el teorema de superposició brinda l'oportunitat de conèixer l'efecte que té cada font sobre el circuit. I per descomptat, mitjançant la seva aplicació és possible resoldre-ho completament, és a dir, conèixer corrents i voltatges a través de cada resistència.

El teorema de superposició també pot usar-se en conjunt amb altres teoremes de circuit, per exemple el de Thévenin, per resoldre configuracions més complexes.

En circuits de corrent altern el teorema també és útil. En aquest cas es treballa amb impedàncies en comptes de resistències, sempre que es pugui calcular la resposta total de cada freqüència de forma independent.

Finalment, en sistemes electrònics el teorema és aplicable tant per a anàlisi en corrent directe com en corrent altern, separadament.

Passos per aplicar el teorema de superposició

-Desactivar totes les fonts independents seguint les instruccions donades a l'començament, excepte la que es va a analitzar.

Determinar la sortida, ja sigui voltatge o corrent, que produeix aquesta única font.

-Repetir els dos passos per a totes les altres fonts.

Calcular la suma algebraica de totes les contribucions trobades en els passos anteriors.

exercicis resolts

Els exemples resolts a continuació aclareixen l'ús de l'teorema en alguns circuits senzills.

- Exemple 1

En el circuit mostrat en la següent figura, trobar el corrent que travessa cada resistència mitjançant el teorema de superposició.

solució

Contribució de la font de voltatge

Per començar s'elimina la font de corrent, amb la qual cosa el circuit queda d'aquesta manera:

La resistència equivalent es troba sumant el valor de cada resistència, ja que totes estan en sèrie:

Aplicant la llei d'Ohm V = IR i buidant el corrent:

Aquest corrent és la mateixa per a totes les resistències.

Contribució de la font de corrent

De seguida s'elimina la font de voltatge, per treballar únicament amb la font de corrent. El circuit resultant es mostra a continuació:

Les resistències a la malla de la dreta estan en sèrie i es poden substituir per una sola:

600 +400 + 1500 Ω = 2500 Ω

El circuit resultant queda així:

El corrent de 2 mA = 0.002 A es divideix entre les dues resistències de la figura, per tant és vàlida l'equació de l'divisor de corrent:

On I _x és el corrent en la resistència R _x, R _eq simbolitza la resistència equivalent i I _T és el corrent total. Cal trobar la resistència equivalent entre totes dues, sabent que:

Per tant:

Per aquest altre circuit, el corrent que passa a través de la resistència de 7500 Ω es troba substituint valors en l'equació de l'divisor de corrent:

Mentre que la que passa a través de la resistència de 2500 Ω és:

Aplicació de l'teorema de superposició

Ara s'aplica el teorema de superposició per a cada resistència, començant per la de 400 Ω:

I _{400 Ω} = 1.5 mA - 0.7 mA = 0.8 mA

Important: per a aquesta resistència, els corrents es resten, doncs circulen en sentit contrari, segons es desprèn de l'observació acurada de les figures, en les quals els sentits dels corrents tenen colors diferents.

Aquesta mateixa corrent travessa per igual a les resistències de 1500 Ω i 600 Ω, ja que totes estan en sèrie.

Seguidament s'aplica el teorema per trobar el corrent a través de la resistència de 7500 Ω:

I _{7500 Ω} = 0.7 mA + 0.5 mA = 1.2 mA

Important: en el cas de la resistència de 7500 Ω observeu que els corrents se sumen, perquè en els dos circuits circulen en el mateix sentit a el passar per aquesta resistència. Novament cal observar atentament els sentits dels corrents.

- Exercici 2

Trobar el corrent i el voltatge a través de la resistència de 12 Ω mitjançant el teorema de superposició.

solució

Es reemplaça la font I ₁ amb un curtcircuit:

El circuit que resulta es dibuixa de la següent manera, per a visualitzar fàcilment les resistències que queden en paral·lel:

I ara es resol aplicant sèrie i paral·lel:

Aquesta resistència al seu torn està en sèrie amb la de 2 Ω, per tant la resistència total és de 5 Ω. El corrent total és:

Aquest corrent es divideix com:

Per tant el voltatge és:

Ara s'activa la font E ₁:

El circuit resultant es pot dibuixar d'aquesta manera:

I en sèrie amb la de 4 Ω resulta una resistència equivalent de 40/7 Ω. En aquest cas el corrent total és:

S'aplica novament el divisor de tensió amb aquests valors:

El corrent resultant és: 0,5-0,4 A = 0.1 A. Cal notar que s'han restat, doncs el corrent de cada font té diferent sentit, com pot observar-se en el circuit original.

El voltatge a través de la resistència és:

Finalment, el voltatge total és: 6 H-4.8 V = 1.2 V

referències

1. Alexander, C. 2006. Fonaments de Circuits Elèctrics. 3ra. Edició. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introducció a l'Anàlisi de Circuits. 2dóna. Edició. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Introduction to Electrical Circuits. 7th. Edition. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Circuits Elèctrics. Sèrie Schaum. 3ra. Edició. Mc Graw Hill
5. Wikipedia. Divisor de corrent. Recobrat de: es.wikipedia.org.