El teorema de Bernoulli, que descriu el comportament d'un líquid en moviment, va ser enunciat pel matemàtic i físic Daniel Bernoulli en la seva obra Hidrodinàmica. Segons el principi, un fluid ideal (sense fregament ni viscositat) que està en règim de circulació per un conducte tancat, tindrà una energia constant en el seu recorregut.
El teorema es pot deduir a partir del principi de conservació de l'energia i fins i tot de la segona llei de moviment de Newton. A més, el principi de Bernoulli també estableix que un augment en la velocitat d'un fluid suposa una disminució de la pressió a què està sotmès, una disminució de la seva energia potencial o ambdues alhora.
Daniel Bernoulli
El teorema compta amb moltes i diferents aplicacions, tant pel que fa a el món de la ciència com per a la vida quotidiana de les persones.
Les seves conseqüències són presents en la força de sustentació dels avions, a les xemeneies de les llars i de les indústries, en les canonades d'aigua, entre d'altres àmbits.
Equació de Bernoulli
Encara que Bernoulli va ser qui va deduir que la pressió disminueix quan augmenta la velocitat de flux, la veritat és que va ser Leonhard Euler qui realment desenvolupament l'equació de Bernoulli en la forma en què es coneix actualment.
En qualsevol cas, l'equació de Bernoulli, que no és sinó l'expressió matemàtica del seu teorema, és la següent:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constant
En aquesta expressió, v és la velocitat de el fluid a través de la secció considerada, ƿ és la densitat de l'fluid, P és la pressió de l'fluid, g és el valor de l'acceleració de la gravetat, i z és l'altura mesura en la direcció de la gravetat.
En l'equació de Bernoulli està implícit que l'energia d'un fluid consta de tres components:
- Una component cinètica, que és la que resulta de la velocitat a la qual es desplaça el fluid.
- Una component potencial o gravitatòria, que és la deguda a l'altura a la qual es troba el fluid.
- Una energia de pressió, que és la que posseeix el fluid com a conseqüència de la pressió a la qual està sotmès.
D'altra banda, l'equació de Bernoulli també es pot expressar així:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Aquesta última expressió resulta molt pràctica per analitzar els canvis que experimenta un fluid quan canvia algun dels elements que compon l'equació.
forma simplificada
En determinades ocasions el canvi en el terme ρgz de l'equació de Bernoulli és mínim comparat amb el que experimenten els altres termes, de manera que és possible menysprear-ho. Per exemple, això succeeix en els corrents que experimenta un avió en vol.
En aquestes ocasions, l'equació de Bernoulli s'expressa de la següent forma:
P + q = P 0
En aquesta expressió q és pressió dinàmica i equival av 2 ∙ ƿ / 2, i P 0 és el que s'anomena pressió total i és la suma de la pressió estàtica P i la pressió dinàmica q.
aplicacions
El teorema de Bernoulli compta amb moltes i diverses aplicacions en camps tan distinos com la ciència, l'enginyeria, l'esport, etc.
Una aplicació interessant la trobem en el disseny de les xemeneies. Les xemeneies es construeixen altes per tal aconseguir una major diferència de pressió entre la base i la sortida de la xemeneia, gràcies a la qual cosa resulta més fàcil l'extracció dels gasos de la combustió.
Per descomptat, l'equació de Bernoulli també s'aplica a l'estudi de el moviment de fluxos líquids en canonades. De l'equació es dedueix que una reducció de la superfície transversal de la canonada, per tal d'aconseguir que augmenti la velocitat de el fluid que la travessa, implica igualment una disminució de la pressió.
L'equació de Bernoulli s'utilitza també en aviació i en els vehicles de Fórmula 1. En el cas de l'aviació, l'efecte Bernoulli és l'origen de la sustentació dels avions.
Les ales dels avions estan dissenyades amb l'objectiu d'aconseguir que es produeixi un major flux d'aire a la part superior de l'ala.
Així, a la part superior de l'ala la velocitat de l'aire és alta i, per tant, la pressió menor. Aquesta diferència de pressió produeix una força dirigida cap verticalment amunt (força de sustentació) que permet que els avions es sostinguin en l'aire. Un efecte similar s'obté en els alerons dels cotxes de Fórmula 1.
exercici resolt
A través d'una canonada amb una secció transversal de 4,2 cm 2 flueix un corrent d'aigua a 5,18 m / s. L'aigua descendeix d'una alçada de 9,66 ma fins a un nivell inferior amb una alçada de cota zero, mentre que la superfície transversal de l'tub s'incrementa fins a 7,6 cm 2.
a) Calculeu la velocitat del corrent d'aigua en el nivell inferior.
b) Determineu la pressió al nivell inferior sabent que la pressió en el nivell superior és de 152.000 Pa.
solució
a) Atès que s'ha de conservar el cabal, es compleix que:
Q nivell superior = Q nivell inferior
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Aïllem, s'obté que:
v 2 = 2,86 m / s
b) Aplicant el teorema de Bernoulli entre els dos nivells, i tenint en compte que la densitat de l'aigua és 1000 kg / m 3, s'obté que:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152.000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
Si aïllem P 2 s'arriba a:
P 2 = 257.926,4 Pa
referències
- Principi de Bernoulli. (Nd). En Wikipedia. Recuperat el 12 de maig del 2018, des es.wikipedia.org.
- Bernoulli 's Principle. (Nd). In Wikipedia. Recuperat el 12 de maig del 2018, des de en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6a ed.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Mecànica de fluids aplicada (4ª ed.). Mèxic: Pearson Educació.