- Segona regla de la mà dreta
- Regla alternativa de la mà dreta
- aplicacions
- Velocitat i acceleració angulars
- El moment angular
- exercicis
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució
- referències
La regla de la mà dreta és un recurs mnemotècnic per establir la direcció i el sentit de el vector resultant d'un producte vectorial o producte creu. S'utilitza àmpliament en física, ja que hi ha importants magnituds vectorials que són el resultat d'un producte vectorial. Tal és el cas de l'torque, la força magnètica, el moment angular i el moment magnètic, per exemple.
Figura 1. Regla de la mà dreta. Font: Wikimedia Commons. Acdx.
Siguin dos vectors genèrics a i b el producte creu és a x b. El mòdul de tal vector és:
a x b = absen α
On α és l'angle mínim entre a i b, mentre que a i b representen els seus mòduls. Per distingir els vectors dels seus mòduls s'utilitzen lletres negretes.
Ara falta conèixer la direcció i el sentit d'aquest vector, pel que convé disposar d'un sistema de referència amb les tres direccions de l'espai (figura 1 dreta). Els vectors unitaris i, j i k apunten respectivament cap al lector (fora de la pàgina), a la dreta i cap amunt.
En l'exemple de la figura 1 esquerra, el vector a es dirigeix cap a l'esquerra (direcció i negativa i dit índex de la mà dreta) i el vector b va cap al lector (direcció x positiva, dit mig de la mà dreta).
El vector resultant a x b té la direcció de l'polze, cap amunt en la direcció z positiva.
Segona regla de la mà dreta
Aquesta regla, també anomenada regla de el polze dret, s'utilitza molt quan hi magnituds la direcció i sentit van rotant, com ara el camp magnètic B produït per un filferro prim i rectilini que transporta un corrent.
En aquest cas les línies de camp magnètic són circumferències concèntriques amb el filferro, i el sentit de el gir s'obté amb aquesta regla de la següent manera: el polze dret assenyala la direcció del corrent i els quatre dits restants es corben en la direcció de l' camp. Il·lustrem el concepte a la figura 2.
Figura 2. Regla de el polze dret per determinar el sentit de la circulació de el camp magnètic. Font: Wikimedia Commons.
Regla alternativa de la mà dreta
La següent figura mostra una forma alternativa de la regla de la mà dreta. Els vectors que apareixen en la il·lustració són:
-La velocitat v d'una càrrega puntual q.
-El camp magnètic B dins el qual es mou la càrrega.
- F B la força que el camp magnètic exerceix sobre la càrrega.
Figura 3. Regla alternativa de la mà dreta. Font: Wikimedia Commons. Experticuis
L'equació per la força magnètica és F B = q v x B i la regla de la mà dreta per conèixer la direcció i el sentit de F B s'aplica així: el polze apunta segons v, els quatre dits restants es col·loquen d'acord a l' camp B. Llavors F B és un vector que surt del palmell de la mà, perpendicular a aquesta, com si estigués empenyent la càrrega.
Observi que F B apuntaria en sentit contrari si la càrrega q és negativa, ja que el producte vectorial no és commutatiu. De fet:
a x b = - b x a
aplicacions
La regla de la mà dreta es pot aplicar per a diverses magnituds físiques, coneguem algunes d'elles:
Velocitat i acceleració angulars
Tant la velocitat angular ω com l'acceleració angular α són vectors. Si un objecte està rotant al voltant d'un eix fix, és possible assignar la direcció i el sentit d'aquests vectors mitjançant la regla de la mà dreta: els quatre dits s'enrotllen seguint la rotació i el polze ofereix immediatament la direcció i el sentit de la velocitat angular ω.
Per la seva banda l'acceleració angular α tindrà la mateixa direcció que ω, però el seu sentit depèn de si ω augmenta o disminueix la seva magnitud amb el temps. En el primer cas, tots dos tenen la mateixa direcció i sentit, però en el segon tindran sentits contraris.
Figura 4. La regla d'el polze dret aplicada a un objecte en rotació per determinar la direcció i el sentit de la velocitat angular. Font: Serway, R. Física.
El moment angular
El vector moment angular L O d'una partícula que trencada al voltant de cert eix O es defineix com el producte vectorial del seu vector de posició instantani r i la quantitat de moviment lineal p:
L = r x p
La regla de la mà dreta s'aplica d'aquesta manera: el dit índex es col·loca en la mateixa direcció i sentit de r, el dit mig en la de p, tots dos sobre un pla horitzontal, com a la figura. Automàticament el polze s'estén verticalment cap amunt assenyalant la direcció i el sentit de el moment angular L O.
Figura 5. El vector moment angular. Font: Wikimedia Commons.
exercicis
- Exercici 1
El virolla de la figura 6 està girant ràpidament amb velocitat angular ω i el seu eix de simetria trencada més lentament al voltant de l'eix vertical z. Aquest moviment s'anomena precessió. Descriviu les forces que actuen sobre la virolla i l'efecte que produeixen.
Figura 6. Baldufa girant. Font: Wikimedia Commons.
solució
Les forces que actuen sobre la virolla són la normal N, aplicada sobre el punt de suport amb el terra O més el pes M g, aplicat al centre de massa CM, amb g el vector acceleració de gravetat, dirigit verticalment cap avall (veure figura 7).
Les dues forces s'equilibren, per tant la virolla no es trasllada. No obstant això el pes produeix un torque o moment de torsió τ net respecte a el punt O, donat per:
τ O = r O x F, amb F = M g.
Com r i M g sempre estan en mateix pla a mesura que la virolla gira, d'acord amb la regla de la mà dreta el torque τ O se situa sempre en el pla xy, perpendicular tant a r com g.
Observi que N no produeix un moment de torsió respecte a O, perquè el seu vector r que fa a O és nul. Aquest torque produeix un canvi en el momentum angular que causa la precessió la virolla al voltant de l'eix Z.
Figura 7. Forces que actuen sobre la virolla i el seu vector moment angular. Font de la figura esquerra: Serway, R. Física per a Ciències i Enginyeria.
- Exercici 2
Assenyali la direcció i el sentit de el vector moment angular L de la virolla de la figura 6.
solució
Un punt qualsevol de la virolla té massa m i, velocitat v i i vector de posició r i, quan gira al voltant de l'eix z. El moment angular L i d'aquesta partícula és:
L i = r i x p i = r i xm i v i
Atès que r i i v i són perpendiculars, la magnitud de L és:
L i = m i r i v i
La velocitat lineal v està relacionada amb la de la velocitat angular ω mitjançant:
v i = r i ω
Per tant:
L i = m i r i (r i ω) = m i r i 2 ω
El moment angular total de la virolla L és el sumatori de el moment angular de cada partícula:
L = (Σm i r i 2) ω
Σ m i r i 2 és el moment d'inèrcia I de la virolla, després:
L = I ω
Per tant L i ω tenen la mateixa direcció i sentit, tal com es mostra a la figura 7.
referències
- Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill.
- Bedford, 2000. A. Mecànica per a Enginyeria: Estàtica. Addison Wesley.
- Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada a l'món. 6ta Edició abreujada. Cengage Learning.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1 i 2. 7dt. Ed. Cengage Learning.