XARXES DE BRAVAIS: CONCEPTE, CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

Les xarxes de Bravais són el conjunt de les catorze cel·les unitàries tridimensionals en què poden situar-se els àtoms d'un cristall. Aquestes cel·les consten d'un arranjament tridimensional de punts que formen una estructura bàsica que es repeteix periòdicament en les tres direccions espacials.

L'origen d'aquesta denominació per a les estructures cristal·lines bàsiques prové de 1850, quan Auguste Bravais va demostrar que només hi ha 14 cel·les unitàries bàsiques tridimensionals possibles.

Figura 1. Les xarxes de Bravais són el conjunt de les 14 cel·les unitàries necessàries i suficients per descriure qualsevol estructura cristal·lina. (Wikimedia commons)

El conjunt de les 14 xarxes de Bravais es subdivideixen en set grups o estructures d'acord a la geometria de les cel·les, aquests set grups són:

1- Cúbic

2- Tetragonal

3- Ortorrómbico

4- Trigonal-Hexagonal

5- Monoclínic

6- Triclínic

7- Trigonal

Cadascuna d'aquestes estructura defineixen una cel·la unitària, sent aquesta la porció més petita que conserva la disposició geomètrica dels àtoms en el cristall.

Característiques de les xarxes de Bravais

Les catorze xarxes de Bravais, com es va dir més amunt, se subdivideixen en set grups. Però cada un d'aquests grups té les seves cel·les unitàries amb els seus paràmetres característics dels quals són:

1- El paràmetre de xarxa (a, b, c)

2- Nombre d'àtoms per cel·la

3- Relació entre paràmetre de xarxa i ràdio atòmic

4- Nombre de coordinació

5- Factor d'empaquetament

6- Espais intersticials

7- Mitjançant translacions al llarg dels vectors a, b, c l'estructura cristal·lina es repeteix.

xarxes cúbiques

Consta de la xarxa cúbica simple o cúbica P, xarxa cúbica centrada en les cares o xarxa cúbica F i la xarxa cúbica centrada en el cos o xarxa cúbica I.

Totes les xarxes cúbiques tenen els tres paràmetres de xarxa corresponents a les direccions x, i, z de el mateix valor:

a = b = c

Xarxa cúbica P

És convenient ressaltar que els àtoms es representen per esferes els centres estan en els vèrtexs de la cel·la unitària cúbica P.

En el cas de la xarxa cúbica P el nombre d'àtoms per cel·la és 1, pel fet que en cada vèrtex només la vuitena part de l'àtom està dins de la cel·la unitària, llavors 8 * ⅛ = 1.

El nombre de coordinació indica el nombre d'àtoms que són veïns propers a la xarxa cristal·lina. En el cas de la xarxa cúbica P el nombre de coordinació és 6.

Xarxa cúbica I

En aquest tipus de xarxa a més dels àtoms als vèrtexs de la galleda, es té un àtom al centre de la galleda. Pel que el nombre d'àtom per cel·la unitària a la xarxa cúbica P és de 2 àtoms.

Figura 2. Xarxa cúbica centrada en el cos.

Xarxa cúbica F

És la xarxa cúbica que a més dels àtoms als vèrtexs té un àtom al centre de la cara de cada cub. El nombre d'àtoms per cel·la és 4, ja que cada un de sis àtoms de la cara té la meitat dins de la cel·la és a dir 6 * ½ = 3 més 8 * ⅛ = 1 en els vèrtexs.

Figura 3. Xarxa cúbica centrada en les cares.

xarxa hexagonal

En aquest cas la cel·la unitària és un prisma recte de base hexagonal. Les xarxes hexagonals tenen els tres paràmetres de xarxa corresponents complint la següent relació:

a = b ≠ c

Sent l'angle entre el vector ai el b de 120º, tal com es mostra a la figura. Mentre que entre els vectors aic, així com entre el bi el c es formen angles rectes.

Figura 4. Xarxa hexagonal.

El nombre d'àtoms per cel·la es calcularà de la següent manera:

- A cada una de les 2 bases de l'prisma hexagonal hi ha 6 àtoms en els sis vèrtexs. Cada un d'aquests àtoms ocupa ⅙ de la cel·la unitària.

- Al centre de cada una de les 2 bases hexagonal hi ha 1 àtom que ocupa 1/2 cel·la unitària.

- A les 6 cares laterals de l'prisma hexagonal hi ha 3 àtoms cadascun dels quals ocupa ⅔ de la cel·la unitària, i 3 àtoms que ocupen cadascun ⅓ de volum de la cel·la unitària.

(6 x ⅙) x 2 + ½ x 2 + ⅔ x 3 + ⅓ x 3 = 6

La relació entre els paràmetres de xarxa i b amb el radi atòmic R sota el supòsit que tots els àtoms són d'igual radi i estan en contacte és:

a / R = b / R = 2

exemples

Els metalls són els principals exemples d'estructures cristal·lines i també les més simples perquè generalment consten d'un sol tipus d'àtom. Però hi ha altres compostos no metàl·lics que també formen estructures cristal·lines, com el diamant, el quars i molts altres.

- El ferro

El ferro té una cel·la unitat cúbica simple amb paràmetre de xarxa o aresta a = 0,297 nm. En 1 mm hi ha 3,48 x 10 ^ 6 cel unitàries.

- El coure

Té una estructura cristal·lina cúbica centrada en les cares, conformada únicament per àtoms de coure.

- Gemmes precioses

Les gemmes precioses són estructures cristal·lina d'bàsicament un mateix compost, però amb petites porcions d'impureses que moltes vegades són les responsables de l'colorit de les mateixes.

diamant

Està compost únicament de carboni i no conté impureses, raó per la qual no té color. El diamant té estructura cristal·lina cúbica (isomètric-hexoctaédrico) i és el material més dur conegut.

quars

Està compost d'òxid de sílice, generalment és incolor o blanc. La seva estructura cristal·lina és trigonal-trapezoédrica.

Rubí

Pedra preciosa generalment de color verd, té estructura monoclínica i està compost de silicat de ferro-magnesi-calci.

topazi

exercici 1

Trobar la relació entre el paràmetre de xarxa i el radi atòmic per a una xarxa cúbica F.

Solució: En primer lloc se suposa que els àtoms es representen com esferes totes de radi R en "contacte" unes amb les altres, com es mostra a la figura. Es forma un triangle rectangle en el qual es compleix que:

(4 R) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 = 2 a ^ 2

Pel que té que la relació aresta-ràdio és:

a / R = 4 / √2

exercici 2

Trobar la relació entre el paràmetre de xarxa i el radi atòmic per a una xarxa cúbica I (centrada en el cos).

Solució: Se suposa que els àtoms es representen com esferes totes de radi R en "contacte" unes amb les altres, com es mostra a la figura.

Es formen dos triangles rectangles un hipotenusa √2a i l'altre d'hipotenusa √3a com pot demostrar-se mitjançant l'ús de l'teorema de Pitàgores. D'allí es té que la relació entre el paràmetre de xarxa i el radi atòmic per a una xarxa cúbica I (centrada en el cos) és:

a / R = 4 / √3

exercici 3

Trobar el factor d'empaquetament F per a una cel·la unitària d'una estructura cúbica F (cúbica centrada en les cares) en què els àtoms tenen radi R i estan en "contacte".

Solució: El factor d'empaquetament F es defineix com el quocient entre el volum ocupat pels àtoms en la cel·la unitària i el volum de la cel·la:

F = V àtoms / V cel·la

Com es va demostrar més amunt, el nombre d'àtoms per cel·la unitària d'una xarxa cúbica centrada en les cares és 4, de manera que el factor d'empaquetament serà:

F = 4 / =…

… 4 / ^ 3 = (√2) π / 6 = 0,74

referències

1. Crystal Structures Academic Resource Center.. Recuperat el 24 de maig de 2018, de: web.iit.edu
2. Crystals. Recuperat el 26 de maig de 2018, de: thoughtco.com
3. Pressbooks. 10.6 Lattice Structures in Crystalline Solids. Recuperat el 26 de maig de 2018, de: opentextbc.ca
4. Ming. (30 de juny de 2015). Types Crystal Structures. Recuperat el 26 de maig de 2018, de: crystalvisions-film.com
5. Helmenstine, Anne Marie, Ph.D. (31 de gener del 2018). Types of
6. Kittel Charles (2013) Solid State Physics, Condensed matter Physics (8th edition). Wiley.
7. KHI. (2007). Crystalline Structures. Recuperat el 26 de maig de 2018, de: folk.ntnu.no
8. Wikipedia. Bravais lattices. Recuperat de: en.wikipedia.com.