QUÈ SÓN ELS VECTORS COPLANARS? (AMB EXERCICIS RESOLTS) - FÍSICA - 2025

Els vectors coplanars o coplanaris són aquells que estan continguts sobre un mateix pla. Quan es tenen només dos vectors, aquests sempre són coplanars, ja que havent-hi infinits plànols sempre és possible escollir algun que els contingui.

Si es tenen tres o més vectors, pot ser que algun d'ells no es trobi en el mateix pla que els altres, per tant no es podrien considerar coplanars. A la següent figura s'observa un conjunt de vectors coplanars denotats en negretes A, B, C i D:

Figura 1. Quatre vectors coplanars. Font: elaboració pròpia.

Els vectors es relacionen amb el comportament i les propietats de magnituds físiques rellevants en ciència i enginyeria; ara la velocitat, l'acceleració i la força.

Una força produeix efectes diferents sobre un objecte quan es varia la forma en què s'aplica, per exemple canviant la intensitat, la direcció i el sentit. Encara canviant un sol d'aquests paràmetres els resultats són considerablement diferents.

En moltes aplicacions, tant en estàtica com en dinàmica, les forces que actuen sobre un cos estan sobre un mateix pla, per tant es consideren coplanars.

Condicions perquè els vectors siguin coplanars

Perquè tres vectors siguin coplanars han d'estar sobre el mateix pla i això passa si compleixen alguna de les següents condicions:

-Els vectors són paral·lels, per tant els seus components són proporcionals i són linealment dependents.

-La seva producte mixt és nul.

-Si es tenen tres vectors i qualsevol d'ells es pot escriure com una combinació lineal dels altres dos, aquests vectors són coplanars. Per exemple un vector que resulti de la suma d'altres dos, els tres estan tots en un mateix pla.

Alternativament es pot establir la condició de coplanaridad de la següent manera:

Producte mixt entre tres vectors

El producte mixt entre vectors es defineix amb tres vectors o, v i w, donant com a resultat un escalar que resulta de realitzar la següent operació:

u · (v x w) = o · (v x w)

Primer es fa el producte creu que està entre parèntesi: v x w , el resultat és un vector normal (perpendicular) a el plànol en què es troben tant v com w .

Si o està sobre el mateix pla que v i w , naturalment el producte escalar (producte punt) entre ui aquest vector normal haurà de ser 0. D'aquesta manera es comprova que els tres vectors són coplanars (jeuen sobre el mateix pla).

Quan el producte mixt no és nul, el seu resultat equival a el volum de l'paral·lelepípede que té als vectors o , v i w com costats adjacents.

aplicacions

Forces coplanars, concurrents i no colineals

Les forces concurrents estan aplicades totes sobre el mateix punt. Si a més són coplanars, poden substituir-se per una de sola, la qual es denomina força resultant i té el mateix efecte que el de les forces originals.

Si un cos es troba en equilibri gràcies a tres forces coplanars, concurrents i no alineats (no paral·leles), denominades A , B i C, el teorema de Lamy assenyala que la relació entre aquestes forces (magnituds) és la següent:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Amb α, β i γ com els angles oposats a les forces aplicades, tal com es mostra en la següent figura:

Figura 2. Tres forces A, B i C coplanars actuen sobre un objecte. Font: Kiwakwok at English Wikipedia

exercicis resolts

-Exercici 1

Trobar el valor de k perquè els vectors següents siguin coplanars:

o = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

solució

Atès que es tenen les components dels vectors, s'empra el criteri de l'producte mixt, per tant:

u · (v x w) = 0

Es resol primer v x w. Els vectors s'expressaran en termes dels vectors unitaris i, j i k que distingeixen les tres direccions perpendiculars a l'espai (ample, alt i profunditat):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i +2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (IXJ) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j +9 k

Ara es planteja el producte escalar entre ui el vector que ha resultat de l'operació anterior, igualant l'operació a 0:

o · (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j +9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

El valor buscat és: k = - 6

De manera que el vector u és:

o = <-3, -6, 2>

-Exercici 2

La figura mostra un objecte el pes és W = 600 N, penjant en equilibri gràcies als cables col·locats segons els angles mostrats a la figura 3. És possible aplicar el teorema de Lamy en aquesta situació? En tot cas trobi les magnituds de T ₁, T ₂ i T ₃ que fan possible l'equilibri.

Figura 3. Un pes penja en equilibri sota l'acció de les tres tensions mostrades. Font: elaboració pròpia.

solució

El teorema de Lamy és aplicable en aquesta situació si es considera el nus sobre el qual estan aplicades les tres tensions, ja que constitueixen un sistema de forces coplanars. Primer es fa el diagrama de cos lliure per al pes penjant, amb la finalitat de determinar la magnitud de T _3:

Figura 4. Diagrama de cos lliure per al pes que penja. Font: elaboració pròpia.

De la condició d'equilibri es desprèn que:

Els angles entre les forces estan marcats en vermell en la següent figura, es pot comprovar fàcilment que la seva suma és 360º. Ara és possible aplicar el teorema de Lamy, ja que es coneix una de les forces i els tres angles que hi ha entre elles:

Figura 5.- En vermell els angles per aplicar el teorema de Lamy. Font: elaboració pròpia.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Per tant: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498.5 N

Novament s'aplica el teorema de Lamy per aclarir T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 N

referències

1. Figueroa, D. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. 31-68.
2. Física. Mòdul 8: Vectors. Recobrat de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mecànica per a Enginyers. Estàtica. 6ta Edició. Companyia Editorial Continental.28-66.
4. McLean, W. Sèrie Schaum. Mecànica per a Enginyers: Estàtica i Dinàmica. 3ra Edició. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Recobrat de: es.wikipedia.org.