- mesura
- Variacions en la mesura
- Resultats d'un mesurament i error
- - Error de mesura
- - Càlcul de l'error de mesurament
- Variància i desviació estàndard
- referències
El experiment determinista, en estadística, és aquell que té un resultat predictible i reproduïble sempre que es mantinguin les mateixes condicions i paràmetres inicials. És a dir, la relació causa-efecte és coneguda en la seva totalitat.
Per exemple, el temps que li pren a la sorra d'un rellotge en passar d'un compartiment a l'altre és un experiment determinista, perquè el resultat és predictible i reproduïble. Sempre que les condicions siguin les mateixes, trigarà el mateix temps en anar d'càpsula a càpsula.
Figura 1. El temps que li pren a la sorra passar d'un compartiment a l'altre és un experiment determinista. Font: Pixabay
Molts fenòmens físics són deterministes, sent alguns exemples els següents:
- Un objecte més dens que l'aigua, com una pedra, sempre s'enfonsarà.
- Un flotador, que és menys dens que l'aigua, sempre sortirà a flotació (a menys que s'exerceixi una força que el mantingui submergit).
- La temperatura d'ebullició d'l'aigua a nivell de la mar sempre és 100 ºC.
- El temps que tarda en caure un dau que es deixa caure de l'repòs, ja que està determinat per l'altura des de la qual es va deixar caure i aquest temps sempre és igual (quan es deixa anar des de la mateixa altura).
Aprofitant l'exemple de el dau. Si aquest es deixa caure, tot i que es tingui la cura de donar-li la mateixa orientació i sempre a la mateixa alçada, és difícil predir quina cara mostrarà cap amunt un cop que s'hagi aturat a terra. Això seria un experiment aleatori.
Teòricament, si es coneguessin amb precisió infinita dades com: posició; velocitat inicial i orientació de el dau; forma (de vores arrodonides o angulosos); i coeficient de restitució de la superfície sobre la que cau, potser seria possible predir, mitjançant càlculs complexos, quina cara mostrarà cap amunt el dau quan s'aturi. Però qualsevol variació ínfima en les condicions de partida donaria un resultat diferent.
Tals sistemes són deterministes i alhora caòtics, ja que una petita alteració de les condicions inicials canvia el resultat final de forma aleatòria.
mesura
Els experiments deterministes són completament mesurables, però així i el mesurament del seu resultat no és infinitament precisa i té cert marge d'incertesa.
Posem per exemple el següent experiment, totalment determinista: deixar anar un acte de joguina per un pista recta inclinada.
Figura 2. Un carro descendeix per una costa rectilínia en un experiment determinista. Font: Pixabay.
Sempre es deixa anar des del mateix punt de partida, tenint la cura de no donar cap impuls. En aquest cas, el temps que li pren a l'acte recórrer la pista ha de ser sempre el mateix.
Ara un nen es proposa mesurar el temps que li pren a l'cistella recórrer la pista. Per això farà servir el cronòmetre que ve incorporat al seu telèfon mòbil.
Sent un noi observador, el primer que nota és que el seu instrument de mesura té una precisió finita, perquè la menor diferència de temps que pot mesurar el cronòmetre és d'1 centèsima de segon.
Després el nen procedeix a realitzar l'experiment i amb el cronòmetre del mòbil mesura 11 vegades -diguem que per estar ben segur- el temps que li va prendre a l'cotxet recórrer el pla inclinat, obtenint els següents resultats:
El nen se sorprèn, perquè a l'escola li havien dit que aquest és un experiment determinista, però en cada mesura va obtenir un resultat lleugerament diferent.
Variacions en la mesura
Quines poden ser les causes que en cada mesurament es tingui un resultat diferent?
Una causa pot ser la precisió de l'instrument, que com ja s'havia dit és de 0,01s. Però cal notar que les diferències en els mesuraments estan per sobre d'aquest valor, per la qual cosa s'ha de pensar en altres causes, com per exemple:
- Petites variacions de punt de partida.
- Diferències en l'inici i pausa de l'cronòmetre, a causa de el temps de reacció de l'infant.
Pel que fa a el temps de reacció certament ocorre un retard des que el nen veu que es comença a moure el carret, fins que prem el cronòmetre.
Similarment, en l'arribada hi ha un retard a causa de el temps a el temps de reacció. Però els retards d'inici i arribada es compensen, de manera que el temps obtingut ha de ser molt proper a l'autèntic.
En tot cas, la compensació pel retard de reacció no és exacta, perquè els temps de reacció poden tenir petites variacions en cada assaig, la qual cosa explica les diferències en els resultats.
Quin és llavors el veritable resultat de l'experiment?
Resultats d'un mesurament i error
Per informar del resultat final hem de tirar mà de l'estadística. Primer vegem amb quina freqüència es repeteixen els resultats:
- 3,03s (1 cop)
- 3,04s (2 cops)
- 3,05s (1 cop)
- 3,06s (1 cop)
- 3,08s (1 cop)
- 3,09s 1 cop
- 3,10s (2 cops)
- 3,11s (1 cop)
- 3,12s (1 cop)
A l'ordenar les dades, ens adonem que no pot precisar una moda o resultat més repetit. Llavors el resultat a reportar és la mitjana aritmètica, que pot calcular així:
El resultat de el càlcul anterior és 3,074545455. Lògicament no té sentit reportar en el resultat tots aquests decimals, pel fet que cada mesurament té res més 2 decimals de precisió.
Aplicant les regles d'arrodoniment, es pot afirmar que el temps que li pren a l'cistella recórrer la pista és la mitjana aritmètica arrodonida a dues xifres decimals.
El resultat que podem reportar per al nostre experiment és:
- Error de mesura
Com s'ha vist en el nostre exemple d'experiment determinista, tot mesurament té un error, ja que no pot mesurar-se amb precisió infinita.
En tot cas, l'únic que pot fer-se és millorar els instruments i els mètodes de mesurament, per tal d'obtenir un resultat més precís.
A la secció anterior vam donar un resultat per al nostre experiment determinista de el temps que li pren a el cotxe de joguina recórrer una pista inclinada. Però aquest resultat porta implícit un error. Ara explicarem com calcular aquest error.
- Càlcul de l'error de mesurament
En els mesuraments per al temps es nota una dispersió en les mesures realitzades. La desviació estàndard és una forma usada freqüentment en estadística per reportar la dispersió de les dades.
Variància i desviació estàndard
La forma de calcular la desviació estàndard és així: primer es troba la variància de les dades, definida d'aquesta manera:
Si a la variància se li pren l'arrel quadrada, s'obté llavors la desviació estàndard.
Figura 3. Fórmules de la mitjana i la desviació estàndard. Font: Wikimedia Commons.
La desviació estàndard per a les dades de el temps de descens de l'autito de joguina és:
σ = 0,03
El resultat va ser arrodonit a 2 decimals, perquè la precisió de cada una de les dades és de 2 decimals. En aquest cas 0,03s representa l'error estadístic de cada una de les dades.
No obstant això, la mitjana o mitjana aritmètica dels temps obtinguts té un error menor. L'error de la mitjana es calcula dividint la desviació estàndard entre l'arrel quadrada de el nombre total de dades.
Error de la mitjana = σ / √n = 0,03 / √11 = 0,01
És a dir, l'error estadístic de la mitjana de temps es 1 centèsima de segon i en aquest exemple, coincideix amb l'apreciació de l'cronòmetre, però no sempre és així.
Com a resultat final de la mesura, es reporta llavors:
t = 3,08s ± 0,01s és el temps que li pren a el cotxe de joguina recórrer la pista inclinada.
Es conclou que tot i que es tracta d'un experiment determinista, el resultat de la seva mesurament no té precisió infinita i sempre té un marge d'error.
I a més, per informar de l'resultat final és necessari, tot i que es tracta d'un experiment determinista, utilitzar mètodes estadístics.
referències
- CanalPhi. Experiment determinista. Recuperat de: youtube.com
- MateMovil. Experiment determinista. Recuperat de: youtube.com
- Pishro Nick H. Introduction to probability. Recuperat de: probabilitycourse.com
- Ross. Probabilitat i estadística per a enginyers. Mc-Graw Hill.
- Statistic how to. Deterministic: Definition and Examples. Recuperat de: statisticshowto.datasciencecentral.com
- Wikipedia. Desviació típica. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Experiment (probability theory). Recuperat de: en.wikipedia.com