- Paràmetres d'una ona
- Valls i crestes en una ona harmònica
- Nombre d'ona
- freqüència angular
- Velocitat de l'ona harmònica
- Exemple de valls: la corda de l'estenedor
- Funció d'ona harmònica per a la corda
- Posició de les valls a la corda
- referències
El vall en física és una denominació que s'aplica en l'estudi dels fenòmens ondulatoris, per indicar el valor mínim o més baix d'una ona. Així doncs, una vall es considera com una concavitat o depressió.
En el cas de l'ona circular que es forma sobre la superfície de l'aigua quan cau una gota o una pedra, les depressions són les valls de l'ona i les protuberàncies són les crestes.
Figura 1. Valls i crestes en una ona circular. Font: pixabay
Un altre exemple és l'ona generada en una corda tensa, un dels extrem es fa oscil·lar verticalment, mentre que l'altre es manté fix. En aquest cas l'ona produïda es propaga amb certa velocitat, té forma sinusoïdal i també està constituïda per valls i crestes.
Els exemples anteriors es refereixen a ones transversals, perquè les valls i crestes van transversals o perpendiculars a la direcció de propagació.
No obstant això, el mateix concepte pot aplicar-se a ones longitudinals com el so en l'aire, les oscil·lacions es produeixen en la mateixa direcció de la propagació. Aquí les valls de l'ona seran els llocs on la densitat de l'aire és mínima i les crestes on l'aire està més dens o comprimit.
Paràmetres d'una ona
La distància entre dues valls, o la distància entre dues crestes, s'anomena longitud d'ona i es denota amb la lletra grega λ. Un mateix punt d'una ona passa d'estar en una vall a estar una cresta a mesura que l'oscil·lació es propaga.
Figura 2. Oscil·lació d'una ona. Font: wikimedia commons
El temps que transcorre d'una vall-cresta-vall, estant en una posició fixa se li denomina el període de l'oscil·lació i aquest temps es denota amb una t majúscula: T.
En el temps d'un període T l'ona avança una longitud d'ona λ, per això es diu que la velocitat v amb la qual avança l'ona és:
v = λ / T
La separació o distància vertical entre la vall i la cresta d'una ona és el doble de l'amplitud d'oscil·lació, és a dir que la distància des d'un vall fins al centre de l'oscil·lació vertical és l'amplitud A de l'ona.
Valls i crestes en una ona harmònica
Una ona és harmònica si la seva forma està descrita per les funcions matemàtiques sinus o cosinus. En general una ona harmònica s'escriu com:
i (x, t) = A cos (k⋅x ± ω⋅t)
En aquesta equació la variable i representa la desviació o desplaçament respecte de la posició d'equilibri (i = 0) en la posició x en l'instant t.
El paràmetre A és l'amplitud de l'oscil·lació, una quantitat sempre positiva que representa la desviació des de la vall de l'ona fins al centre d'oscil·lació (i = 0). En una ona harmònica es compleix que la desviació i, des de la vall fins a la cresta, és A / 2.
Nombre d'ona
Altres paràmetres que apareixen en la fórmula de l'ona harmònica, específicament en l'argument de la funció si, són el nombre d'ona k i la freqüència angular ω.
El nombre d'ona k està relacionat amb la longitud d'ona λ mitjançant la següent expressió:
k = 2π / λ
freqüència angular
La freqüència angular ω està relacionada amb el període T mitjançant:
ω = 2π / T
Cal notar que en l'argument de la funció si apareix ±, és a dir que en alguns casos s'aplica el signe positiu i en altres el signe negatiu.
Si una ona que es propaga en la direcció positiva de les x, llavors és el signe menys (-) el que s'ha d'aplicar. En cas contrari, és a dir en una ona que es propaga en la direcció negativa s'aplica el signe positiu (+).
Velocitat de l'ona harmònica
La velocitat de propagació d'una ona harmònica es pot escriure en funció de la freqüència angular i el nombre d'ona de la següent manera:
v = ω / k
És fàcil demostrar que aquesta expressió és completament equivalent a la que vam donar anteriorment en funció de la longitud d'ona i el període.
Exemple de valls: la corda de l'estenedor
Un nen juga a les ones amb la corda d'un estenedor de roba, per a això deslliga un extrem i ho fa oscil·lar amb un moviment vertical a un ritme d'1 oscil·lació per segon.
Durant aquest procés el nen es queda quiet en el mateix lloc i només mou el seu braç de dalt a baix i viceversa.
Mentre el nen genera les ones, el seu germà gran li pren una foto amb el seu mòbil. Quan compara la mida de les ones amb el cotxe que està aparcat just darrere de la corda, nota que la separació vertical entre valls i crestes és la mateixa que l'altura de les finestres de l'cotxe (44 cm).
A la foto també pot apreciar-se que la separació entre dues valls consecutius és la mateixa que hi ha entre la vora del darrere de la porta del darrere i la vora davantera de la porta davantera (2,6 m).
Funció d'ona harmònica per a la corda
Amb aquestes dades el germà gran es proposa trobar la funció d'ona harmònica suposant com instant inicial (t = 0) l'instant en què la mà de la seva germanet estava en el punt més alt.
També suposarà que l'eix x comença (x = 0) en el lloc de la mà, amb direcció positiva cap al front i passant per la meitat de l'oscil·lació vertical. Amb aquesta informació pot calcular els paràmetres de l'ona harmònica:
L'amplitud és la meitat de l'altura d'una vall a una cresta, és a dir:
A = 44cm / 2 = 22 cm = 0,22M
El nombre d'ona és
k = 2π / (2,6 m) = 2,42 rad / m
Com el nen puja i baixa la mà al temps d'un segon llavors la freqüència angular serà
ω = 2π / (1 s) = 6,28 rad / s
En definitiva la fórmula per l'ona harmònica queda
i (x, t) = 0,22M cos (2,42⋅x - 6,28 ⋅t)
La velocitat de propagació de l'ona serà
v = 6,28 rad / s / 2,42 rad / m = 15,2 m / s
Posició de les valls a la corda
El primer vall a el cap d'un segon d'haver començat el moviment de la mà estarà a la distància d de l'infant i en fa la següent relació:
i (d, 1s) = -0,22m = 0,22M cos (2,42⋅d - 6,28 ⋅1)
El que vol dir que
cos (2,42⋅d - 6,28) = -1
és a dir
2,42⋅d - 6,28 = -π
2,42⋅d = π
d = 1,3 m (posició de la vall més proper at = 1s)
referències
- Giancoli, D. Physics. Principles with Applications. 6th Edition. Prentice Hall. 80-90
- Resnick, R. (1999). Física. Volum 1. Tercera edició en espanyol. Mèxic. Companyia Editorial Continental SA de CV 100- 120.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. 7dt. Edició. Mèxic. Cengage Learning Editors. 95-100.
- Strings, standing waves and Harmonics. Recuperat de: newt.phys.unsw.edu.au
Waves and Mechanical Simple Harmonic Waves. Recuperat de: physicskey.com.