QUÈ ÉS EL NOMBRE DE PRANDTL? (VALORS A GASOS I LÍQUIDS) - FÍSICA - 2025

El nombre de Prandtl, abreujat Pr, és una quantitat adimensional que relaciona la difusivitat de la quantitat de moviment, a través de la viscositat cinemàtica ν (lletra grega que es llegeix "nu") d'un fluid, amb la seva difusivitat tèrmica α en forma de quocient:

Figura 1. L'enginyer alemany Ludwig Prandtl en el seu laboratori de Hannover el 1904. Font: Wikimedia Commons.

En termes de el coeficient de viscositat de l'fluid o viscositat dinàmica μ, la calor específica de la mateixa C _p i el seu coeficient de conductivitat tèrmica K, el nombre de Prandtl també s'expressa matemàticament de la següent forma:

Aquesta quantitat es denomina així per científic alemany Ludwig Prandtl (1875-1953), qui va realitzar grans aportacions a la mecànica dels fluids. El nombre de Prandtl és un dels nombres importants per modelar el flux de fluids i en particular la forma en què la calor es transfereix en ells mitjançant convecció.

De la definició donada, es desprèn que el nombre de Prandtl és una característica de l'fluid, ja que depèn de les propietats d'aquest. A través d'aquest valor, es pot comparar la capacitat de el fluid per transferir quantitat de moviment i calor.

Convecció natural i forçada en fluids

La calor es transmet a través d'un mitjà mitjançant diversos mecanismes: convecció, conducció i radiació. Quan hi ha moviment a nivell macroscòpic de el fluid, és a dir, hi ha moviment massiu d'aquest, la calor es transmet ràpidament en aquest mitjançant el mecanisme de convecció.

En canvi, quan el mecanisme preponderant és la conducció, el moviment de el fluid passa a nivell microscòpic, ja sigui atòmic o molecular, segons el tipus de fluid, però sempre més lentament que per convecció.

La velocitat de el fluid i el règim de flux que tingui -laminar o turbulento- també influeix en això, ja que mentre més ràpid es mogui, més ràpida és també la transmissió de calor.

La convecció ocorre naturalment quan el fluid es mou a causa d'una diferència de temperatura, per exemple quan una massa d'aire calent s'eleva i una altra d'aire fred descendeix. En aquest cas es parla de convecció natural.

Però la convecció també pot ser forçada si s'utilitza un ventilador per obligar l'aire a fluir, o una bomba per posar l'aigua en moviment.

Pel que fa a el fluid, aquest pot circular a través d'un tub tancat (fluid confinat), un tub obert (com una cadena per exemple) o bé una superfície oberta.

En totes aquestes situacions, el nombre de Prandtl es pot emprar per a modelar la transmissió de calor, al costat d'altres números importants de la mecànica dels fluids, com el nombre de Reynolds, el nombre de Mach, el nombre de Grashoff, el nombre de Nusselt, la rugositat o aspror de la canonada i més.

Definicions importants en la transmissió de calor a un fluid

A més de les propietats de l'fluid, la geometria de la superfície també intervé en el transport de calor, així com el tipus de flux: laminar o turbulent. Ja que el nombre de Prandtl involucra nombroses definicions, aquí hi ha un breu resum de les més importants:

viscositat dinàmica

És la resistència natural d'un fluid a fluir, deguda a les diferents interaccions entre les seves molècules. Es denota μ i les seves unitats en el Sistema Internacional (SI) són Ns / m ² (newton x segon / metre quadrat) o Pa.s (pascal x segon), anomenada poise. És molt més gran en els líquids que en els gasos i depèn de la temperatura de l'fluid.

viscositat cinemàtica

Es denota com ν (lletra grega que es llegeix "nu") i es defineix com la raó entre la viscositat dinàmica μ i la densitat ρ d'un fluid:

Les seves unitats són m ² / s.

conductivitat tèrmica

Es defineix com la capacitat dels materials per conduir la calor a l'través d'ells. És una quantitat positiva i les seves unitats són Wm / K (watt x metre / kelvin).

calor específica

Quantitat de calor que s'ha d'afegir a 1 quilogram de substància per elevar la seva temperatura en 1 ºC.

difusivitat tèrmica

Es defineix com:

Les unitats de la difusivitat tèrmica són les mateixes que les de la viscositat cinemàtica: m ² / s.

Descripció matemàtica de la transmissió de calor

Hi ha una equació matemàtica que modela la transmissió de calor a través del fluid, considerant que les seves propietats com viscositat, densitat i altres romanen constants:

T és la temperatura, una funció de el temps ti de el vector de posició r, mentre que α és la difusivitat tèrmica abans esmentada i Δ és l'operador laplacià. En coordenades cartesianes quedaria així:

rugositat

Asprors i irregularitats en la superfície per la qual circula el fluid, per exemple a la cara interna de la canonada per on circula l'aigua.

flux laminar

Es refereix a un fluid que flueix en capes, de manera suau i ordenada. Les capes no es barregen i el fluid es mou al llarg de les anomenades línies de corrent.

Figura 2. La columna de fum té un règim laminar a l'començament, però després es apareixen volutes indicatives d'un règim turbulent. Font: Pixabay.

flux turbulent

En aquest cas el fluid es mou d'una manera desordenada i les seves partícules formen remolins.

Valors de l'nombre de Prandtl en gasos i líquids

En els gasos, l'ordre de magnitud tant de la viscositat cinemàtica com de la difusivitat tèrmica, ve donat pel producte de la velocitat mitjana de les partícules i el recorregut lliure mitjà. Aquest últim és el valor de la distància mitjana recorreguda per una molècula de gas entre dues col·lisions.

Tots dos valors són molt semblants, per tant el nombre de Prandtl Pr és proper a 1. Per exemple per a l'aire Pr = 0.7. Això vol dir que tant el momentum com la calor es transmeten aproximadament amb la mateixa rapidesa en els gasos.

En els metalls líquids en canvi, Pr és menor que 1, ja que els electrons lliures condueixen la calor molt millor que el momentum. En aquest cas ν és menor que α i Pr «1. Un bon exemple és el sodi líquid, utilitzat com a refrigerant en els reactors nuclears.

L'aigua és un conductor de calor menys eficient, amb Pr = 7, així com olis viscosos, el nombre de Prandtl és molt més gran, podent arribar a ser de 100.000 per a olis pesats, la qual cosa vol dir que la calor es transmet a ells amb molta lentitud, comparat amb el momentum.

Taula 1. Ordre de magnitud de l'nombre de Prandtl per a diferents fluids

fluid	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
mantell terrestre	10 17	10 -6	10 23
Capes internes de el Sol	10 -2	10 2	10 -4
Atmosfera de la Terra	10 -5	10 -5	1
Oceà	10 -6	10 -7	10

exemple

Les difusividades tèrmiques de l'aigua i de l'aire a 20 ºC són respectivament 0,00142 i 0.208 cm ² / s. Trobi els números de Prandtl de l'aigua i de l'aire.

solució

S'aplica la definició donada a el principi, ja que l'enunciat facilita els valors de α:

I pel que fa als valors de ν, poden trobar-se en una taula de propietats dels fluids, això sí, cal anar amb compte que ν estigui en les mateixes unitats de α i que siguin vàlides a 20 ºC:

ν _aire = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0.151 cm ² / s; ν _aigua = 1.02 x 10 ^-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Per tant:

Pr (aire) = 0.151 / 0.208 = 0.726; Pr (aigua) = 0,0102 / 0,00142 = 7.18

referències

1. Química orgànica. Tema 3: Convecció. Recuperat de: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Problemes resolts de Mecànica de Fluids. Sèrie Schaum. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, I. 2005. Introduction to Fluid Mechanics. Oxford University Press.
4. Thorne, K. 2017. Modern Classical Physics. Princeton and Oxford University Press.
5. UNET. Fenòmens de transport. Recuperat de: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl number. Recuperat de: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Thermal Conductivity. Recuperat de: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viscositat. Recuperat de: es.wikipedia.org.