PROCÉS POLITRÒPIC: CARACTERÍSTIQUES, APLICACIONS I EXEMPLES - FÍSICA - 2025

Un procés politròpic és un procés termodinàmic que ocorre quan la relació entre la pressió P i el volum V donada per PV ⁿ es manté constant. L'exponent n és un nombre real, generalment comprès entre zero i infinit, però que en alguns casos pot ser negatiu.

El valor de n rep el nom d'índex de politropía i és important ressaltar que durant un procés termodinàmic politrópico dit índex ha de mantenir un valor fix, en cas contrari el procés no es considerarà politrópico.

Figura 1. Equació característica d'un procés termodinàmic politrópico. Font: F. Zapata.

Característiques dels processos politrópicos

Alguns casos característics de processos politrópicos són:

- El procés isotèrmic (a temperatura T constant), en què l'exponent és n = 1.

- Un procés isobàric (a pressió P constant), en aquest cas n = 0.

- El procés isocor (a volum V constant), per al qual n = + ∞.

- Els processos adiabàtics (a entropia S constant), en els quals l'exponent és n = γ, sent γ la constant adiabàtica. Aquesta constant és el quocient entre la capacitat calorífica a pressió constant Cp dividit entre la capacitat calorífica a volum constant Cv:

γ = Cp / Cv

- Qualsevol altre procés termodinàmic que no sigui algun dels casos anteriors. però que compleixi PV ⁿ = ctte amb índex politrópico real i constant n serà també un procés politròpic.

Figura 2. Diferents casos característics de processos termodinàmics politrópicos. Font: Wikimedia Commons.

aplicacions

Una de les principals aplicacions de l'equació politrópica és per al càlcul de la feina realitzada per un sistema termodinàmic tancat, quan passa d'un estat inicial a un altre final en forma cuasiestática, és a dir, seguint una successió d'estats d'equilibri.

Treball en processos politrópicos per a diferents valors de n

Per n ≠ 1

El treball mecànic W realitzat per un sistema termodinàmic tancat es calcula mitjançant l'expressió:

W = ∫P.dV

On P és la pressió i V el volum.

Com en el cas d'un procés politròpic la relació entre la pressió i el volum és:

Es té el treball mecànic realitzat durant un procés politròpic, el qual comença en un estat inicial 1 i acaba en l'estat final 2. Tot això apareix en la següent expressió:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

A l'substituir el valor de la constant en l'expressió de la feina s'obté:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

En el cas que la substància de treball pugui modelar-se com un gas ideal, es té la següent equació d'estat:

PV = MRT

On m és el nombre de mols de gas ideal i R és la constant universal dels gasos.

Per a un gas ideal que segueix un procés politròpic amb índex de politropía diferent de la unitat i que passa d'un estat amb temperatura inicial T ₁ a un altre estat amb temperatura T ₂ es té que el treball efectuat està donat per la següent fórmula:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

Per n → ∞

D'acord a la fórmula per al treball obtinguda en la secció prèvia, s'ha de la feina d'un procés politròpic amb n = ∞ és nul, a causa de que l'expressió de la feina queda dividida entre l'infinit i per tant el resultat tendeix a zero.

Una altra forma d'arribar a aquest resultat és partir de la relació P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, la qual pot ser reescrita de la següent manera:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Prenent arrel n-èsima en cada membre s'obté:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

En el cas que n → ∞, s'ha de (V ₂ / V1) = 1, el que vol dir que:

V ₂ = V ₁

És a dir, el volum no canvia en un procés politròpic amb n → ∞. Per tant el diferencial de volum dV a la integral de la feina mecànic és 0. A aquest tipus de processos politrópicos se'ls coneix també com a processos isocóricos, o processos a volum constant.

Per n = 1

Novament tenim l'expressió l'expressió per al treball:

W = ∫P dV

En el cas d'un procés politròpic amb n = 1, la relació entre la pressió i el volum és:

PV = constant = C

A l'aclarir P de l'expressió anterior i substituir, es té la feina feta per anar des de l'estat inicial 1 a l'estat final 2:

És a dir:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Com els estats inicial i final estan ben determinats, també ho estarà la ctte. És a dir:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Finalment es tenen les següents expressions útils per trobar el treball mecànic d'un sistema tancat politrópico en què n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Si la substància de treball consta de m mols de gas ideal, llavors pot aplicar l'equació d'estat de gas ideal: PV = MRT

En aquest cas, com PV ₁ = ctte, es té que un procés politròpic amb n = 1 és un procés a temperatura T constant (isotèrmic), de manera que es poden obtenir les següents expressions per al treball:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Figura 3. Un caramell fonent, exemple de procés isotèrmic. Font: Pixabay.

Exemples de processos politrópicos

- Exemple 1

Suposi un cilindre amb un pistó movible ple amb un quilogram d'aire. Inicialment l'aire ocupa un volum V ₁ = 0,2 m ³ a una pressió P ₁ = 400 kPa. Es segueix un procés politròpic amb n = γ = 1,4, l'estat final té pressió P ₂ = 100 kPa. Determineu el treball efectuat per l'aire sobre el pistó.

solució

Quan l'índex de politropía s'iguala a la constant adiabàtica, es té un procés en el qual la substància de treball (l'aire) no intercanvia calor amb l'entorn, i per tant tampoc canvia l'entropia.

Per l'aire, un gas ideal diatòmic, es té:

γ = Cp / Cv, amb Cp = (7/2) R i Cv = (5/2) R

llavors:

γ = 7/5 = 1,4

Usant l'expressió de l'procés politròpic pot determinar el volum final de l'aire:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Ara es tenen les condicions per aplicar la fórmula de la feina feta en un procés politròpic per n ≠ 1 obtinguda més amunt:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Substituint els valors apropiats es té:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) a = 65,4 kJ

- Exemple 2

Suposi el mateix cilindre de l'exemple 1, amb un pistó movible ple amb un quilogram d'aire. Inicialment l'aire ocupa un volum V1 = 0,2 m ³ a una pressió P1 = 400 kPa. Però a diferència de el cas anterior l'aire s'expandeix isotèrmicament per arribar a una pressió final P2 = 100 kPa. Determinar el treball efectuat per l'aire sobre el pistó.

solució

Com s'ha vist anteriorment, els processos isotèrmics són processos politrópicos amb índex n = 1, de manera que es compleix que:

P1 V1 = P2 V2

D'aquesta manera pot desenganxar fàcilment el volum final per obtenir:

V2 = 0,8 m ³

Llavors usant l'expressió de la feina obtinguda prèviament per al cas n = 1 es té que el treball efectuat per l'aire sobre el pistó en aquest procés és:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

referències

1. Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, I. 2012. termodinàmica. 7dt Edició. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 4. Fluids i Termodinàmica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. La Primera Llei de la Termodinàmica. Recobrat de: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fonaments de Física. 9na Ed. Cengage Learning.
7. Universitat de Sevilla. Màquines Tèrmiques. Recobrat de: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Procés politròpic. Recobrat de: wikiwand.com.