PRINCIPI D'ARQUIMEDES: FÓRMULA, DEMOSTRACIÓ, APLICACIONS - FÍSICA - 2025

El principi d'Arquímedes diu que un cos submergit total o parcialment, rep una força vertical cap amunt anomenada empenta, la qual cosa equival a el pes de l'volum de líquid desplaçat pel cos.

Alguns objectes suren a l'aigua, altres s'enfonsen i alguns es submergeixen parcialment. Per enfonsar una pilota de platja cal fer un esforç, perquè immediatament es percep aquesta força que tracta de retornar-la a la superfície. En canvi una esfera de metall s'enfonsa ràpidament.

Figura 1. Globus que suren: principi d'Arquímedes en acció. Font: Pixabay.

D'altra banda, els objectes submergits semblen més lleugers, per tant hi ha una força exercida pel fluid que es contraposa a l'pes. Però no sempre pot compensar d'el tot a la gravetat. I, encara que és més evident amb l'aigua, els gasos també són capaços de produir aquesta força sobre els objectes immersos en ells.

història

Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) va ser a qui s'ha d'haver descobert aquest principi, sent un dels més grans científics de la història. Diuen que el rei Hieró II de Siracusa va manar a un orfebre fabricar-li una corona nova, per la qual cosa li va lliurar una certa quantitat d'or.

Arquímedes

Quan el rei va rebre la corona nova, aquesta tenia el pes correcte, però va sospitar que l'orfebre li havia enganyat afegint plata en comptes d'or. Com podia comprovar-sense destruir la corona?

Hieró va cridar a Arquímedes, la fama d'erudit era de sobres coneguda, perquè l'ajudés a resoldre el problema. La llegenda afirma que Arquimedes estava submergit en la banyera quan va donar amb la resposta i, tal va ser la seva emoció, que va sortir corrent nu pels carrers de Siracusa per buscar a rei cridant "eureka", que significa "el vaig trobar".

Què va trobar Arquímedes? Doncs que a l'prendre un bany el nivell de l'aigua a la banyera pujava quan ell entrava, la qual cosa vol dir que un cos submergit desplaça un cert volum de líquid.

I si submergia la corona en aigua, aquesta també havia de desplaçar un cert volum d'aigua si la corona estava feta d'or i un altre diferent si estava feta d'aliatge amb plata.

fórmula

La força ascensional a què fa referència el principi d'Arquímedes és coneguda com empenta hidrostàtic o força de flotació i, com hem dit, equival a el pes de l'volum de fluid desplaçat pel cos a l'estar submergit.

El volum desplaçat equival a el volum de l'objecte que estigui submergit, ja sigui total o parcialment. Ja que el pes de qualsevol cosa és mg, i la massa de el fluid és densitat x volum, denotant com B de la magnitud de l'empenta, matemàticament s'ha de:

B = m _fluid xg = densitat de l'fluid x Volum submergit x gravetat

B = ρ _fluid x V _submergit xg

On la lletra grega ρ ("rho") denota la densitat.

El pes aparent

El pes dels objectes es calcula mitjançant la coneguda expressió mg, però les coses se senten més lleugeres quan estan submergides en l'aigua.

El pes aparent d'un objecte és el que té quan està immers en aigua o un altre líquid i coneixent-lo, es pot obtenir el volum d'un objecte irregular com la corona de rei Hieró, com es veurà a continuació.

Per a això es el submergeix completament en aigua i subjecte d'una corda adossada a un dinamòmetre -un instrument proveït d'un ressort que serveix per mesurar forces-. A major pes de l'objecte, major elongació de la molla, la qual es mesura sobre una escala proveïda en l'aparell.

Figura 2. Pes aparent d'un objecte submergit. Font: elaborat per F. Zapata.

Aplicant la segona llei de Newton sabent que l'objecte està en repòs:

ΣF _i = B + T - W = 0

El pes aparent W _a equival a la tensió a la corda T:

Ja que l'empenta compensa a el pes, ja que la porció de fluid està en repòs, llavors:

D'aquesta expressió es desprèn que l'empenta es deu a la diferència de pressions entre la cara superior de l'cilindre i la inferior. Com W = mg = ρ fluid. V. g, s'ha de:

Que és precisament l'expressió per l'empenta esmentada en l'apartat anterior.

aplicacions

El principi d'Arquímedes apareix en moltes aplicacions pràctiques, entre les quals podem nomenar:

- El globus aerostàtic. El qual per tenir una densitat mitjana menor que la de l'aire circumdant, flota en ell a causa de la força d'empenta.

- Els vaixells. El casc dels vaixells és més pesat que l'aigua. Però si es considera el conjunt de casc més l'aire al seu interior, el quocient entre la massa total i el volum és menor que la de l'aigua i aquesta és la raó per la qual els vaixells suren.

- Les armilles salvavides. A l'ésser construïts de materials lleugers i porosos, són capaços de surar perquè la relació massa-volum és menor que la de l'aigua.

- El flotant per tancar l'aixeta d'ompliment d'un tanc d'aigua. Es tracta d'un esfera plena d'aire de gran volum que sura sobre l'aigua, la qual causa que la força d'empenta - multiplicada per l'efecte palanca - tanqui el tap de l'aixeta d'ompliment d'un tanc d'aigua quan aquesta ha arribat al nivell total.

exemples

exemple 1

La llegenda explica que el rei Hieró va donar a l'orfebre certa quantitat d'or perquè fabriqués una corona, però el desconfiat monarca va pensar que l'orfebre va poder haver fet trampa a l'col·locar a l'interior de la corona un metall menys valuós que l'or. Però com podia saber-ho sense destruir la corona?

El rei li va encarregar el problema a Arquímedes i aquest, buscant la solució, va descobrir el seu famós principi.

Suposem que la corona pesa 2,10 kg-f en l'aire i 1,95 kg-f quan està completament submergida en aigua. En aquest cas, hi ha o no hi ha engany?

Figura 5. Diagrama de cos lliure de la corona del rei Heron. Font: elaborat per F. Zapata

El diagrama de les forces es mostra a la figura anterior. Aquestes forces són: el pes P de la corona, l'empenta E i la tensió T de la corda que penja de la bàscula.

Es coneix P = 2,10 kg-f i T = 1,95 kg-f, cal determinar la magnitud de l'empenta E:

D'altra banda, d'acord a el principi d'Arquímedes, l'empenta E és equivalent a el pes de l'aigua desallotjada de l'espai ocupat per la corona, és a dir la densitat de l'aigua pel volum de la corona per l'acceleració de gravetat:

D'on es pot calcular el volum de la corona:

La densitat de la corona és el quocient entre la massa de la corona fora de l'aigua i el volum de la mateixa:

La densitat de l'or pur es pot determinar per un procediment similar i el resultat és de 19300 kg / m ^ 3.

Comparant les dues densitats és evident que la corona 'no és d'or pur!

exemple 2

Basant-se en les dades i el resultat de l'exemple 1, és possible determinar quant or va ser robat per l'orfebre en el cas que part de l'or hagi estat substituït per plata, la qual té una densitat de 10500 kg / m ^ 3.

Anomenarem ρc a la densitat de la corona, ρo a la densitat de l'or i ρ _p a la densitat de la plata.

La massa total de la corona és:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

El volum total de la corona és el volum de plata més el volum d'or:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Substituint en l'equació de la massa queda:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

És a dir que el volum d'or Vo que conté la corona de volum total V és:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14.000-10.500) / (19.300-10.500) = 0,00005966 m ^ 3

Per saber el pes en or que conté la corona multipliquem Vo per la densitat de l'or:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Com la massa de la corona és 2,10 kg, sabem que 0,94858 kg d'or van ser robats per l'orfebre i substituïts per plata.

exercicis resolts

exercici 1

Un enorme globus d'heli és capaç de sostenir en equilibri (sense pujar ni baixar) a una persona.

Supose que el pes de la persona, més la cistella, cordes i globus és de 70 kg. Quin és el volum d'heli necessari perquè això passi? Quina mida ha de tenir el globus?

solució

Suposarem que l'empenta és produït principalment pel volum d'heli i que l'empenta de la resta dels components és molt petit en comparació amb el de l'heli que ocupa molt més volum.

En aquest cas, es requerirà d'un volum d'heli capaç de proporcionar una embranzida de 70 kg + el pes de l'heli.

Figura 6. Diagrama de cos lliure de l'globus ple d'heli. Font: elaborat per F. Zapata.

L'empenta és el producte de l'volum d'heli per la densitat de l'heli per l'acceleració de gravetat. Aquest empenta ha de compensar el pes de l'heli més el pes de tota la resta.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

d'on es conclou que V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1.25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65.4 m ^ 3

És a dir, es requereixen de 65.4 m ^ 3 d'heli a pressió atmosfèrica perquè hi hagi sustentació.

Si suposem un globus esfèric podem trobar el radi de la mateixa a partir de la relació entre el volum i el radi d'una esfera:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

D'on R = 2,49 m. És a dir es requerirà d'un globus de 5 m de diàmetre ple d'heli.

exercici 2

Els materials de menor densitat que l'aigua suren a la mateixa. Suposeu que té cubs de poliestirè (suro blanc), fusta i gel. Les seves densitats en kg per metre cúbic són respectivament: 20, 450 i 915.

Trobi quina fracció de l'volum total queda fora de l'aigua i que alçada sobresurt respecte a la superfície de l'aigua prenent com a densitat d'aquesta última 1000 quilograms per metre cúbic.

solució

La flotabilitat es dóna quan el pes de el cos és igual a l'empenta a causa de l'aigua:

E = M⋅g

Figura 7. Diagrama de cos lliure d'un objecte parcialment submergit. Font: elaborat per F. Zapata.

El pes és la densitat de cos Dc multiplicada pel seu volum V i per l'acceleració de gravetat g.

L'empenta és el pes de l'fluid desplaçat segons el principi d'Arquímedes i es calcula multiplicant la densitat D de l'aigua pel volum submergit V 'i per l'acceleració de gravetat.

És a dir que:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

El que vol dir que la fracció de volum submergit és igual a el quocient entre la densitat de el cos i la densitat de l'aigua.

És a dir que la fracció de volum excel·lent (V '' / V) és

Si h és l'altura excel·lent i L el costat de la galleda la fracció de volum pot escriure com

Llavors els resultats per als materials comandes són:

Poliestirè (suro blanc):

(H / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (20/1000) = 98% fora de l'aigua

fusta:

(H / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (450/1000) = 55% fora de l'aigua

gel:

(H / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (915/1000) = 8.5% fora de l'aigua

referències

1. Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel I, Cimbala J. 2011.Mecánica de Fluids. Fonaments i aplicacions. Primera edició. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 4. Fluids i Termodinàmica. Editat per Douglas Figueroa (USB). 1-42.
4. Giles, R. 2010. Mecànica dels fluids i hidràulica. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Física: Conceptes i Aplicacions. 7dt Edició. McGraw Hill.