ONES UNIDIMENSIONALS: EXPRESSIÓ MATEMÀTICA I EXEMPLES - FÍSICA - 2025

Les ones unidimensionals són les que es propaguen en una sola direcció sense importar que la vibració passi o no en la mateixa direcció de propagació. Un bon exemple d'elles és l'ona que es desplaça per una corda tensa com la d'una guitarra.

En una ona plana transversal, les partícules vibren en direcció vertical (pugen i baixen, veure la fletxa vermella a la figura 1), però és unidimensional perquè la pertorbació viatja en una sola direcció, seguint la fletxa groga.

Figura 1: La imatge representa una ona unidimensional. Noti que les crestes i les valls formen línies paral·leles entre si i perpendiculars a la direcció de propagació. Font: Elaboració pròpia.

Les ones unidimensionals apareixen amb bastant freqüència en la quotidianitat. En l'apartat següent es descriuen alguns exemples d'elles i també d'ones que no són unidimensionals, per establir amb claredat les diferències.

Exemples d'ones unidimensionals i ones no unidimensionals

ones unidimensionals

Aquests són alguns exemples d'ones unidimensionals que poden observar-se fàcilment:

- Un pols de so que viatja per una barra recta, ja que es tracta d'una pertorbació que es propaga a tot el llarg de la barra.

- Una ona que viatja per un canal d'aigua, tot i que el desplaçament de la superfície de l'aigua no sigui paral·lel a l'canal.

- Ones que es propaguen sobre una superfície o per l'espai tridimensional també poden ser unidimensionals, sempre que els seus fronts d'ones sigui plans paral·lels entre si i viatgin en una sola direcció.

Ones no unidimensionals

Un exemple d'ona no unidimensional es troba en les ones que es formen en una superfície d'aigua quieta quan es deixa caure una pedra. Es tracta d'una ona en dues dimensions amb front d'ona cilíndric.

Figura 2. La imatge representa un exemple del que NO ÉS una ona unidimensional. Noti que les crestes i valls formen cercles i la direcció de propagació és radial cap a fora, es tracta llavors d'una ona bidimensional circular. Font: Pixabay.

Un altre exemple d'ona no-unidimensional és l'ona de so que genera un petard fent explosió a certa alçada. Aquesta es tracta d'una ona tridimensional amb fronts d'ona esfèrics.

Expressió matemàtica d'una ona unidimensional

La forma més general d'expressar una ona unidimensional que es propaga sense atenuació en la direcció positiva de l'eix x i amb velocitat v és, matemàticament:

En aquesta expressió i representa la pertorbació en la posició x a l'instant t. La forma de l'ona està donada per la funció f. Per exemple la funció de l'ona mostrada a la figura 1 és: i (x, t) = cos (x - vt) i la imatge de l'ona correspon a l'instant t = 0.

Una ona com aquesta, descrita per una funció cosinus o si, s'anomena ona harmònica. Tot i que no és l'única forma d'ona que existeix, és de summa importància, perquè qualsevol altra ona pot representar-se com una superposició o suma d'ones harmòniques. Es tracta del conegut teorema de Fourier, tan utilitzat per descriure senyals de tot tipus.

Quan l'ona viatja en la direcció negativa de l'eix x, simplement es canvia v per -v a argument, quedant:

A la figura 3 s'aprecia l'animació d'una ona que viatja cap a l'esquerra: es tracta d'una forma anomenada funció lorentziana i la seva expressió matemàtica és:

En aquest exemple la rapidesa de propagació és v = 1, -una unitat d'espai per cada unitat de temps-.

Figura 3. Exemple d'una ona de forma lorentziana que viatja a l'esquerra amb rapidesa v = 1. Font: Elaborat per F. Zapata amb Geogebra.

Equació d'ona unidimensional

L'equació d'ona és una equació en derivades parcials, la solució és per descomptat una ona. Estableix la relació matemàtica entre la part espacial i la part temporal de la mateixa, i té la forma:

exemple resolt

A continuació es té l'expressió general i (x, t) per a una ona harmònica:

a) Descriviu el significat físic dels paràmetres A, k, ω i θo.

b) Quin significat tenen els signes ± en l'argument de l'cosinus?

c) Comproveu que l'expressió donada és en efecte la solució de l'equació d'ona de l'apartat anterior i trobi la velocitat v de propagació.

Solució a)

Les característiques de l'ona es troben en els següents paràmetres:

Derivada segona respecte a: ∂ ² i / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Es substitueixen aquests resultats en l'equació d'ona:

Tant A com el cosinus es simplifiquen, ja que apareixen a banda i banda de la igualtat i l'argument de l'cosinus és el mateix, per tant l'expressió es redueix a:

Que permet obtenir una equació per v en termes de ω k:

referències

1. E-educativa. Equació de les ones harmòniques unidimensionals. Recuperat de: e-ducativa.catedu.es
2. El racó de la Física. Classes d'Ones. Recuperat de: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Ones i Física Quàntica. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Editat per Douglas Figueroa. Universitat Simón Bolívar. Caracas, Veneçuela.
4. Fisica Lab. Moviment ondulatori. Recuperat de: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Lecture 21: The one dimensional Wave Equation: D'Alembert 's Solution. Recuperat de: ubc.ca.
6. Wave equation. Recuperat de: en.wikipedia.com