ONDA SENOIDAL: CARACTERÍSTIQUES, PARTS, CÀLCUL, EXEMPLES - FÍSICA - 2025

Les ones sinusoïdals són patrons d'ones que matemàticament poden ser descrites mitjançant les funcions sinus i cosinus. Descriuen encertadament esdeveniments naturals i senyals variables en el temps, com ara els voltatges generats per centrals elèctriques i després utilitzats en llars, indústries i carrers.

Elements elèctrics com resistències, condensadors i inductàncies, que es connecten a entrades de voltatge sinusoïdal, produeixen respostes també sinusoïdals. Les matemàtiques que s'utilitzen en la seva descripció són relativament senzilles i han estat minuciosament estudiades.

Figura 1. Una ona sinusoïdal amb algunes de les seves principals característiques espacials: amplitud, longitud d'ona i fase. Font: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: KraaiennestOriginally created as a cosine wave, by User: Pèlegs, així File: Wave_new.svgderivative work: Dave3457

La matemàtica de les ones sinusoïdals o sinusoïdals, com també se les coneix, és la de les funcions sinus i cosinus.

Es tracta de funcions repetitives, el que significa periodicitat. Ambdues tenen idèntica forma, amb l'excepció que el cosinus està desplaçat cap a l'esquerra respecte a si en una cambra de cicle. S'observa a la figura 2:

Figura 2. Les funcions sin xi cos x estan desplaçades una respecte a l'altra. Font: F. Zapata.

Llavors cos x = sin (x + π / 2). Amb ajuda d'aquestes funcions es representa una ona sinusoïdal. Per a això, en l'eix vertical es col·loca la magnitud en qüestió, mentre que en l'eix horitzontal se situa el temps.

En la gràfica de dalt també s'aprecia la qualitat repetitiva d'aquestes funcions: el patró es repeteix contínua i regularment. Gràcies a aquestes funcions es poden expressar voltatges i corrents de tipus sinusoïdal variant en el temps, col·locant en l'eix vertical en comptes de la i, un tiu 1 i per representar voltatge o corrent, i en l'eix horitzontal en comptes de la x, es col·loca la t de el temps.

La forma més general per expressar una ona sinusoïdal és:

Seguidament aprofundirem en el significat d'aquesta expressió, definint alguns termes bàsics amb la finalitat de caracteritzar l'ona sinusoïdal.

Parts

Període, amplitud, freqüència, cicle i fase són conceptes s'apliquen a les ones periòdiques o repetitives i són importants per a caracteritzar-les adequadament.

període

Una funció periòdica com les esmentades, la qual es repeteix a intervals regulars, compleix sempre la següent propietat:

On T és una quantitat denominada període de l'ona, i és el temps que tarda a repetir-se una fase de la mateixa. En unitats de Sistema Internacional, el període es mesura en segons.

amplitud

D'acord a l'expressió general de l'ona sinusoïdal v (t) = v _m sin (ωt + φ), v _m és el valor màxim de la funció, que ocorre quan sin (ωt + φ) = 1 (recordant que el major valor que admet tant la funció si com la funció cosinus és 1). Aquest valor màxim és justament l'amplitud de l'ona, també coneguda com a amplitud pic.

En cas de tractar-se d'un voltatge es mesurarà en Volts i si és un corrent serà en Ampers. En l'ona sinusoïdal mostrada l'amplitud és constant, però en altres tipus d'ona l'amplitud pot variar.

cicle

És una part de l'ona continguda en un període. A la figura anterior es va prendre el període mesurant des de dos cims o crestes consecutives, però pot començar a mesurar-se des d'altres punts de l'ona, mentre estiguin limitats per un període.

Cal observar en la següent figura com un cicle abasta des d'un punt fins a un altre amb el mateix valor (alçada) i la mateixa pendent (inclinació).

Figura 3. En una ona sinusoïdal, un cicle sempre transcorre durant un període. L'important és que el punt d'inici i el final estiguin a la mateixa alçada. Font: Boylestad. Introducció a l'Anàlisi de Circuits. Pearson.

freqüència

És la quantitat de cicles que tenen lloc en 1 segon i es troba vinculada a l'argument de la funció si: ωt. La freqüència es denota com f i es mesura en cicles per segon o Hertz (Hz) en Sistema Internacional.

La freqüència és la quantitat inversa de el període, per tant:

Mentre que la freqüència f està relacionada amb la freqüència angular ω (pulsació) com:

La freqüència angular s'expressa en radiants / segon en el sistema internacional, però els radiants són adimensionals, així la freqüència fi la freqüència angular ω tenen les mateixes dimensions. Cal observar que el producte ωt dóna radiants com a resultat, s'ha de tenir en compte a l'hora d'utilitzar la calculadora per obtenir el valor de sin ωt.

fase

Es correspon a l'desplaçament horitzontal experimentat per l'ona, respecte a un temps pres com a referència.

A la següent figura l'ona verda està avançada respecte a la vermella en un temps t _d. Dues ones sinusoïdals estan en fase quan la seva freqüència i la seva fase són les mateixes. Si la fase difereix, llavors estan en desfasament. Les ones de la figura 2 també estan desfasades.

Figura 4. Ones sinusoïdals desfasades. Font: Wikimedia Commons. No machine-readable Autor provided. Kanjō ~ commonswiki assumed (based on copyright claims)..

Si la freqüència de les ones és diferent, estaran en fase quan la fase ωt + φ sigui la mateixa en les dues ones en determinats instants.

Generador d'ona sinusoïdal

Hi ha moltes formes d'obtenir un senyal en forma d'ona sinusoïdal. Les preses de corrent casolanes les proporcionen.

Aplicació de la llei de Faraday

Una manera bastant simple d'obtenir un senyal sinusoïdal és fent ús de la llei de Faraday. Aquesta indica que en un circuit tancat de corrent, per exemple una espira, col·locat al mig d'un camp magnètic, es genera un corrent induït quan el flux de camp magnètic a través d'ella canvia en el temps. En conseqüència es genera igualment un voltatge induït o fem induïda.

El flux de camp magnètic varia si l'espira es fa girar amb rapidesa angular constant enmig de camp creat entre els pols N i S de l'imant mostrat a la figura.

Figura 5. Generador d'ona basat en la Llei d'inducció de Faraday. Font: Font: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

La limitació d'aquest dispositiva és la dependència que té el voltatge obtingut amb la freqüència de rotació de l'espira, com es veurà amb més detall en l'exemple 1 de la secció d'exemples més endavant.

Oscil·lador de Wien

Una altra forma d'obtenir una ona sinusoïdal, aquesta vegada amb electrònica, és mitjançant l'oscil·lador de Wien, que requereix d'un amplificador operacional en connexió amb resistències i condensadors. D'aquesta manera s'obtenen ones sinusoïdals la freqüència i amplitud l'usuari pot modificar segons la seva conveniència, mitjançant l'ajust amb interruptors.

A la figura es mostra un generador de senyals sinusoïdals, amb el qual també es poden obtenir altres formes d'ona: triangulars i quadrades entre d'altres.

Figura 6. Un generador de senyals. Font: Font: Wikimedia Commons. Ocgreg at English Wikipedia.

Com calcular les ones sinusoïdals?

Per realitzar càlculs que involucrin ones sinusoïdals s'utilitza una calculadora científica que disposi de les funcions trigonomètriques sinus i cosinus, així com les seves inverses. Aquestes calculadores disposen de maneres per treballar els angles ja sigui en graus o en radiants, i és senzill convertir d'una forma a l'altra. El factor de conversió és:

Segons el model de la calculadora, haurà navegar mitjançant la tecla MODE per trobar l'opció DEGREE, que permet treballar les funcions trigonomètriques en graus, o bé l'opció RAD, per treballar directament els angles en radiants.

Per exemple sin 25º = 0,4226 amb la calculadora posada en mode DEG. A l'convertir 25è a radiants s'obté 0,4363 radiants i sen 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

l'oscil·loscopi

L'oscil·loscopi és un aparell que permet visualitzar en una pantalla senyals de voltatges i corrents tant alternes com directes. Té perillós per ajustar la mida del senyal sobre una quadrícula com es mostra en la següent figura:

Figura 7. Un senyal sinusoïdal mesura amb un oscil·loscopi. Font: Boylestad.

A través de la imatge que proveeix l'oscil·loscopi i coneixent l'ajust de la sensibilitat en els dos eixos, és possible calcular els paràmetres de l'ona que es van descriure anteriorment.

A la figura es mostra el senyal de voltatge sinusoïdal en funció de el temps, en la qual cada divisió de l'eix vertical val 50 milivolts, mentre que en l'eix horitzontal, cada divisió val 10 microsegons.

L'amplitud pic a pic es troba comptant les divisions que abasta l'ona en el vertical, ajudant-se amb la fletxa vermella:

S'expliquen 5 divisions amb ajuda de la fletxa vermella, llavors el voltatge pic-pic és:

El voltatge pic V _p es mesura a partir de l'eix horitzontal, sent de 125 mV.

Per trobar el període es mesura un cicle, per exemple el delimitat per la fletxa verda, que abasta 3.2 divisions, llavors el període és:

exemples

exemple 1

Per al generador de la figura 3, demostri a partir de la llei de Faraday que el voltatge induït té forma sinusoïdal. Suposeu que l'espira consta de N voltes en lloc d'una sola, totes amb la mateixa àrea A i està girant amb rapidesa angular constant ω enmig d'un camp magnètic B uniforme.

solució

La llei de Faraday diu que la fem induïda ε és:

On Φ _B és el flux de camp magnètic, que serà variable, ja que depèn de com l'espira s'exposa a cada instant a camp. El signe negatiu simplement descriu el fet que aquesta fem s'oposa a la causa que la produeix (llei de Lenz). El flux a causa d'una sola espira és:

θ és l'angle que el vector normal a el pla de l'espira va formant amb el camp B a mesura que transcorre la rotació (veure figura), aquest angle naturalment va variant com:

De manera que: Φ _B = Bacos θ = Bacos ωt. Ara només cal derivar pel que fa a el temps aquesta expressió i amb això s'obté la fem induïda:

Com que el camp B és uniforme i l'àrea de l'espira no varia, surten fora de la derivada:

Una espira té àrea de 0.100 m ² i gira a 60.0 rev / s, amb el seu eix de rotació perpendicular a un camp magnètic uniforme de 0.200 T. Sabent que la bobina té 1000 voltes trobar: a) La fem màxima que es genera, b) l'orientació de la bobina en relació amb el camp magnètic quan ocorre la fem màxima induïda.

Figura 8. Una espira de N voltes trencada enmig d'un camp magnètic uniforme i genera un senyal sinusoïdal. Font: R. Serway, Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 2. Cengage Learning.

solució

a) La fem màxima és ε _max = ωNBA

Abans de procedir a substituir els valors, cal passar la freqüència de 60 rev / sa unitats de el Sistema Internacional. Se sap que 1 revolució equival a una volta o 2p radiants:

60.0 rev / s = 120p radiants / s

ε _max = 120p radiants x 1000 voltes x 0.200 T x 0.100 m ² = 7539.82 V = 7.5 kV

b) Quan aquest valor passa sin ωt = 1 per tant:

ωt = θ = 90º, En aquest cas, el pla de l'espiral és paral·lel a B, de manera que el vector normal a aquest pla formi 90º amb el camp. Això passa quan el vector en color negre a la figura 8 sigui perpendicular a el vector verd que representa el camp magnètic.

referències

1. Boylestad, R. 2011. Introducció a l'anàlisi de circuits. 12va. Edició. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Electromagnetisme. Sèrie Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 6. Editat per D. Figueroa. Universitat Simón Bolívar. 115 i 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Laboratori de Física 2. Editorial Equinocci. 03-1 i 14-1.
4. Ones sinusoïdals. Recobrat de: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008.Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 2. Cengage Learning. 881- 884