- El pèndol simple i el moviment vibratori harmònic simple
- pèndol simple
- Moviment harmònic simple
- Dinàmica de el moviment de l'pèndol
- Desplaçament, velocitat i acceleració
- Velocitat i acceleració màximes
- conclusió
- referències
Un pèndol és un objecte (idealment una massa puntual) penjat per un fil (idealment sense massa) d'un punt fix i que oscil·la gràcies a la força de la gravetat, aquesta misteriosa força invisible que, entre altres coses, manté enganxat a l'univers.
El moviment pendular és el que es produeix en un objecte d'un costat a un altre, penjant d'una fibra, cable o fil. Les forces que intervenen en aquest moviment són la combinació de la força de la gravetat (vertical, cap al centre de la Terra) i la tensió de el fil (direcció de el fil).
Pèndol oscil·lant, mostrant velocitat i acceleració (wikipedia.org)
És el que fan els rellotges de pèndol (d'aquí el seu nom) o els gronxadors dels parcs infantils. En un pèndol ideal el moviment oscil·latori continuaria perpètuament. En un pèndol real, en canvi, el moviment acaba aturant-se a el cap de el temps per efecte de la fricció amb l'aire.
Pensar en un pèndol fa inevitable evocar la imatge d'el rellotge pendular, el record d'aquest vell i imponent rellotge de la casa de camp dels avis. O potser el conte de terror d'Edgar Allan Poe, El pou i el pèndol la narració està inspirada en un dels molts mètodes de tortura que utilitzava la Inquisició espanyola.
La veritat és que els diferents tipus de pèndols tenen variades aplicacions més enllà de mesurar el temps, com són, per exemple, determinar l'acceleració de la gravetat en lloc determinat i fins i tot demostrar la rotació de la Terra com va fer el físic francès Jean Bernard Léon Foucault.
Pèndol de Foucault. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).
El pèndol simple i el moviment vibratori harmònic simple
pèndol simple
El pèndol simple, si bé és un sistema ideal, permet dur a terme una aproximació teòrica a el moviment d'un pèndol.
Tot i que les equacions de el moviment d'un pèndol simple poden ser un tant complexes, la veritat és que quan l'amplitud (A), o desplaçament des de la posició d'equilibri, de el moviment és petita, aquest es pot aproximar amb les equacions d'un moviment harmònic simple que no són excessivament complicades.
Moviment harmònic simple
El moviment harmònic simple és un moviment periòdic, és a dir, que es repeteix en el temps. A més, és un moviment oscil·latori la oscil·lació es produeix al voltant d'un punt d'equilibri, és a dir, un punt en el qual el resultat net de la suma de les forces que s'apliquen sobre el cos és nul.
D'aquesta manera, una característica fonamental de el moviment de l'pèndol és el seu període (T), que determina el temps que triga a fer un cicle complet (o oscil·lació completa). El període d'un pèndol ve determinat per la següent expressió:
sent, l = la longitud d'el pèndol; i, g = el valor de l'acceleració de la gravetat.
Una magnitud relacionada amb el període és la freqüència (f), que determina el nombre de cicles que recorre el pèndol en un segon. D'aquesta manera, la freqüència es pot determinar a partir de el període amb la següent expressió:
Dinàmica de el moviment de l'pèndol
Les forces que intervenen en el moviment són el pes, o el que és el mateix la força de la gravetat (P) i la tensió de el fil (T). La combinació d'aquestes dues forces és el que provoca el moviment.
Mentre que la tensió sempre va dirigida a la direcció de el fil o corda que uneix la massa amb el punt fix i, per tant, no cal descompondre-; el pes sempre va dirigit a la vertical feia el centre de masses de la Terra, i per tant, cal descompondre'l en els seus components tangencial i normal o radial.
La component tangencial de l'pes P t = mg sin θ, mentre que la component normal de l'pes és P N = mg cos θ. Aquesta segona es compensa amb la tensió de el fil; sent, per tant, responsable última de el moviment la component tangencial de l'pes que actua com una força recuperadora.
Desplaçament, velocitat i acceleració
El desplaçament d'un moviment harmònic simple, i per tant de l'pèndol, ve determinat per la següent equació:
x = A ω cos (ω t + θ 0)
on ω = és la velocitat angular de gir; t = és el temps; i, θ 0 = és la fase inicial.
D'aquesta manera, està equació permet determinar la posició de pèndol en qualsevol instant. Referent a això, és interessant ressaltar algunes relacions entre algunes de les magnituds de el moviment harmònic simple.
ω = 2 Π / T = 2 Π / f
D'altra banda, la fórmula que governa la velocitat de l'pèndol en funció de el temps s'obté derivant el desplaçament en funció de el temps, així:
v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ 0)
Procedint de la mateixa manera s'obté l'expressió de l'acceleració pel que fa a el temps:
a = dv / dt = - A ω 2 cos (ω t + θ 0)
Velocitat i acceleració màximes
Observant tant l'expressió de la velocitat com la de l'acceleració s'aprecien alguns aspectes interessants de el moviment de l'pèndol.
La velocitat pren el seu màxim valor en la posició d'equilibri, moment en el qual l'acceleració és nul·la, ja que, com ja es va dir anteriorment, en aquest instant la força neta és nul·la.
Per contra, en els extrems de l'desplaçament passa el contrari, allà l'acceleració pren el valor màxim, i la velocitat pren un valor nul.
De les equacions de la velocitat i l'acceleració és fàcil deduir tant el mòdul de la velocitat màxima com el mòdul de l'acceleració màxima. Només cal prendre el valor màxim possible tant per al sin (ω t + θ 0) com per al cos (ω t + θ 0), que en ambdós casos es 1.
│ v max │ = A ω
│ a max │ = A ω 2
El moment en què el pèndol arriba a la velocitat màxima és quan es passa pel punt d'equilibri de forces ja que llavors sin (ω t + θ 0) = 1. Per contra, l'acceleració màxima l'aconsegueix en els dos extrems de el moviment ja que aleshores cos (ω t + θ 0) = 1
conclusió
Un pèndol és un objecte fàcil de dissenyar i en aparença amb un moviment senzill encara que la veritat és que en el fons és bastant més complex del que sembla.
No obstant això, quan l'amplitud inicial és petita el seu moviment es pot explicar amb equacions no excessivament complicades, ja que es pot aproximar amb les equacions de moviment vibratori harmònic simple.
Els diferents tipus de pèndols que existeixen compten amb diferents aplicacions tant per a la vida diària com en l'àmbit científic.
referències
- Van Baak, Tom (Novembre de 2013). «A New and Wonderful Pendulum Period Equation». Horological Science Newsletter. 2013 (5): 22-30.
- Pendulum. (Nd). In Wikipedia. Recuperat el 7 de març, 2018, des en.wikipedia.org.
- Pendulum (mathematics). (Nd). In Wikipedia. Recuperat el 7 de març, 2018, des en.wikipedia.org.
- Llorente, Juan Antonio (1826). The history of the Inquisition of Spain. Abridged and translated by George B. Whittaker. Oxford University. pp. XX, preface.
- Poe, Edgar Allan (1842). The Pit and the Pendulum. Booklassic. ISBN 9635271905.