MOMENT D'INÈRCIA: FÓRMULES, EQUACIONS I EXEMPLES DE CÀLCUL - FÍSICA - 2025

El moment d'inèrcia d'un cos rígid respecte a un cert eix de rotació, representa la seva resistència a canviar la seva velocitat angular al voltant d'aquest eix. És proporcional a la massa i també a la ubicació de l'eix de gir, ja que el cos, segons la seva geometria, pot rotar més fàcilment al voltant de certs eixos que en altres.

Suposem un objecte extens (que consta de moltes partícules) el qual pot rotar al voltant d'un eix. Suposem que actua una força F, aplicada tangencialment sobre l'element de massa Δm _i, que produeix un torque o moment, donat per τ _net = Σ r _i x F _i. El vector r _i és la posició de Δm _i (veure figura 2).

Figura 1. Moments d'inèrcia de diverses figures. Font: Wikimedia Commons.

Aquest moment és perpendicular a mapa de la rotació (direcció + k = sortint de el paper). Ja que la força i el vector posició radial sempre són perpendiculars, el producte creu queda:

τ _net = Σ F _i r _i k = Σ (Δm _i a _i) r _i k = Σ Δm _i (a _i r _i) k

Figura 2. Una partícula pertanyent a un sòlid rígid en rotació. Font: Serway, R. 2018. Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cengage Learning.

L'acceleració a _i representa la component tangencial de l'acceleració, ja que l'acceleració radial no contribueix a l'torque. En funció de l'acceleració angular α, podem indicar que:

Per tant el torque net queda així:

τ _net = Σ Δm _i (α r _i ²) k = (Σ r _i ² Δm _i) α k

L'acceleració angular α és la mateixa per a tot l'objecte, per tant no està afectada pel subíndex "i" i pot sortir de la sumatòria, la qual és precisament el moment d'inèrcia de l'objecte simbolitzada amb la lletra I:

Aquest és el moment d'inèrcia d'una distribució de massa discreta. Quan la distribució és contínua, la sumatòria es reemplaça amb una integral i Δm esdevé un diferencial de massa dm. La integral s'efectua sobretot l'objecte:

Les unitats de el moment d'inèrcia en el Sistema Internacional SI són kg xm ². Es tracta d'una quantitat escalar i positiva, ja que és el producte d'una massa pel quadrat d'una distància.

Exemples de càlcul

Un objecte estès, com una barra, disc, esfera o un altre, la densitat ρ és constant i sabent que la densitat és el quocient massa - volum, el diferencial de massa dm s'escriu com:

Substituint a la integral per al moment d'inèrcia, tenim:

Aquesta és una expressió general, vàlida per a un objecte tridimensional, els volum V i posició r són funcions de les coordenades espacials x, yiz. Cal notar que a l'ésser constant, la densitat queda fora de la integral.

La densitat ρ es coneix també com a densitat volumètrica, però si l'objecte és molt pla, com una làmina o molt prim i estret com una vareta, es poden utilitzar altres formes de densitat, vegem:

- Per a una làmina molt fina, la densitat a utilitzar és σ, la densitat superficial (massa per unitat d'àrea) i dA és el diferencial d'àrea.

- I si es tracta d'una barra prima, on solament la longitud és rellevant, s'utilitza la densitat lineal de massa λ i un diferencial de longitud, segons l'eix utilitzat com a referència.

En els exemples que segueixen es considera que tots els objectes són rígids (no deformables) i tenen densitat uniforme.

Moment d'inèrcia d'una barra prima respecte a un eix que passa pel seu centre

Aquí anem a calcular el moment d'inèrcia d'una barra prima, rígida, homogènia, de longitud L i massa M, respecte a un eix que passa pel mig.

En primer lloc cal establir un sistema de coordenades i construir una figura amb la geometria adequada, com aquesta:

Figura 3. Geometria per calcular el moment d'inèrcia d'una vareta prima respecte a un eix vertical que passa pel seu centre. Font: F. Zapata.

Es va escollir l'eix xa al llarg de la barra i l'eix i com a eix de rotació. El procediment per establir la integral requereix també triar un diferencial de massa sobre la barra, anomenat dm, el qual té una longitud diferencial dx i es localitza en la posició x arbitrària, respecte a el centre x = 0.

D'acord a la definició de densitat de massa lineal λ:

A l'ésser uniforme la densitat, el que és vàlid per a M i L, també ho és per dm i dx:

D'altra banda, l'element de massa està en la posició x, llavors a l'substituir aquesta geometria en la definició, tenim una integral definida, els límits són els extrems de la barra segons el sistema coordinat:

Substituint la densitat lineal λ = M / L:

Per a trobar el moment d'inèrcia de la barra respecte a un altre eix de rotació, per exemple un que passi per un dels seus extrems, es pot utilitzar el teorema de Steiner (veure exercici resolt a la fin) o bé efectuar un càlcul directe semblant a l'mostrat aquí, però modificant adequadament la geometria.

Moment d'inèrcia d'un disc respecte a un eix que passa pel seu centre

Un disc molt prim, de gruix menyspreable és una figura plana. Si la massa està distribuïda uniformement per tota la superfície d'àrea A, la densitat de massa σ és:

Tant dm com dA corresponen a la massa i a l'àrea de l'anell diferencial mostrat a la figura. Suposarem que tot el conjunt gira al voltant de l'eix i.

Es pot imaginar que el disc està compost que molts anells concèntrics de radi r, cadascun amb el seu respectiu moment d'inèrcia. Sumant les contribucions de tots els anells fins arribar a el de radi R, es tindrà el moment d'inèrcia total del disc.

Figura 4. Geometria per calcular el moment d'inèrcia d'un disc, respecte a l'eix axial. Font: F. Zapata.

On M representa la totalitat de la massa del disc. L'àrea d'un disc depèn de la seva radi r com:

Derivant respecte ar:

Substituint l'anterior en la definició d'R:

Substituint σ = M / (π.R ²) queda:

Moment d'inèrcia d'una esfera sòlida respecte a un diàmetre

Una esfera de radi R pot considerar-se com una sèrie de discos apilats un sobre l'altre, on cada disc de massa infinitesimal dm, radi ri gruix dz, té un moment d'inèrcia donat per:

Per trobar aquest diferencial, simplement es va prendre la fórmula de la secció anterior i es van substituir M i R per dm ir, respectivament. Un disc com aquest s'aprecia en la geometria de la figura 5.

Figura 5. Geometria per calcular el moment d'inèrcia d'una esfera sòlida de radi R respecte a un eix que passa per un diàmetre. Font: F. Zapata.

A l'sumar tots els moments d'inèrcia infinitesimals de discos apilats, s'obté el moment d'inèrcia total de l'esfera:

La qual cosa equival a:

Per resoldre la integral es necessita expressar dm apropiadament. Com sempre, s'aconsegueix a partir de la densitat:

El volum d'un disc diferencial és:

L'altura de el disc és el gruix dz, mentre que l'àrea de la base és πr ², per tant:

I substituint a la integral plantejada quedaria així:

Però abans d'integrar, cal observar que r-el radi de l'disc- depèn de zi R-el radi de la esfera-, com es veu de la figura 5. Mitjançant el teorema de Pitàgores:

Que ens porta a:

Per integrar sobre tota l'esfera, notem que z varia entre -R i R, per tant:

Sabent que ρ = M / V = ​​M / finalment s'obté, després de simplificar:

Moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid respecte a l'eix axial

Per a aquest objecte s'utilitza un mètode semblant a què es va usar per a l'esfera, només que aquesta vegada és més senzill si el cilindre s'imagina format per closques cilíndrics de radi r, espessor dr i altura H, com si fossin les capes d'una ceba.

Figura 6. Geometria per calcular el moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid de radi R respecte a l'eix axial. Font: Serway, R. 2018. Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cengage.

El volum dV d'una capa cilíndrica és:

Per tant la massa de la closca és:

Se substitueix aquesta expressió en la definició de moment d'inèrcia:

L'equació anterior assenyala que el moment d'inèrcia de l'cilindre no depèn de la seva longitud, sinó de la seva massa i del seu radi només. Si L canviés, el moment d'inèrcia respecte a l'eix axial seguiria sent el mateix. Per aquesta raó, I de l'cilindre coincideix amb el de el disc prim prèviament calculat.

Moment d'inèrcia d'una làmina rectangular respecte a un eix que passa pel seu centre

S'ha escollit a l'eix i horitzontal com a eix de rotació. La figura a continuació mostra la geometria necessària per dur a terme la integració:

Figura 7. Geometria per al càlcul de el moment d'inèrcia d'una placa rectangular respecte a un eix paral·lel a la làmina i que passa pel seu centre. Font: F. Zapata.

L'element d'àrea assenyalat en vermell és rectangular. La seva àrea és base x altura, per tant:

Per tant el diferencial de massa és:

Pel que fa a la distància de l'element d'àrea a l'eix de rotació, sempre és z. Substituïm tot això en la integral de moment d'inèrcia:

Ara se substitueix la densitat de massa superficial σ per:

I definitivament queda així:

Cal notar que és com el de la barra prima.

Moment d'inèrcia d'una làmina quadrada respecte a un eix que passa pel seu centre

Per a un quadrat de costat L, en l'expressió anterior vàlida per a un rectangle, simplement se substitueix el valor de b pel de L:

Teoremes de el moment d'inèrcia

Hi ha dos teoremes especialment útils per simplificar el càlcul de moments d'inèrcia respecte a altres eixos, que d'altra manera podrien resultar complicats de trobar per la falta de simetria. Aquests teoremes són:

Teorema de Steiner

Anomenat també teorema dels eixos paral·lels, relaciona el moment d'inèrcia d'respecte a un eix amb un altre que passi pel centre de massa de l'objecte, sempre que els eixos siguin paral·lels. Per aplicar-lo es necessita conèixer la distància D entre tots dos eixos i per descomptat la massa M de l'objecte.

Sigui I _z el moment d'inèrcia d'un objecte estès pel que fa a l'eix z, I _CM el moment d'inèrcia respecte d'un eix que passa pel centre de masses (CM) de l'esmentat objecte, llavors es compleix que:

O en la notació de la figura següent: I _{z '} = I _z + Md ²

Figura 8. Teorema de Steiner o dels eixos paral·lels. Font: Wikimedia Commons. Jack Veure

Teorema dels eixos perpendiculars

Aquest teorema s'aplica a superfícies planes i diu així: el moment d'inèrcia d'un objecte pla al voltant d'un eix perpendicular a ell, és la suma dels moments d'inèrcia al voltant de dos eixos perpendiculars a el primer eix:

Figura 9. Teorema dels eixos perpendiculars. Font: F. Zapata.

Si l'objecte posseeix simetria tal que I _x i I _i són iguals, llavors es compleix que:

exercici resolt

Trobar el moment d'inèrcia de la barra respecte a un eix que passa per un dels seus extrems, com la mostrada a la figura 1 (a baix ia la dreta) i la figura 10.

Figura 10. Moment d'inèrcia d'una barra homogènia al voltant d'un eix que passa per un extrem. Font: F. Zapata.

solució:

Ja tenim el moment d'inèrcia de la barra al voltant d'un eix que passa pel seu centre geomètric. Ja que la barra és homogènia, el seu centre de massa es troba en aquest punt, llavors aquest serà el nostre I _CM per aplicar el teorema de Steiner.

Si la longitud de la barra és L, l'eix z està a una distància D = L / 2, per tant:

referències

1. Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson. 190-200.
3. Parallel Axis Theorem. Recuperat de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cengage.
5. Universitat de Sevilla. Moment d'inèrcia de sòlids esfèrics. Recuperat de: laplace.us.es.
6. Universitat de Sevilla. Moment d'inèrcia d'un sistema de partícules. Recuperat de: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Parallel axis theorem. Recuperat de: en.wikipedia.org