MODEL ATÒMIC DE DIRAC JORDAN: CARACTERÍSTIQUES I POSTULATS - FÍSICA - 2025

El model atòmic de Dirac-Jordan és la generalització relativista de l'operador hamiltonià en l'equació que descriu la funció d'ona quàntica de l'electró. A diferència d'el model precedent, el de Schrödinger, no cal imposar l'espín mitjançant el principi d'exclusió de Pauli, ja que apareix de forma natural.

A més, el model de Dirac-Jordan incorpora les correccions relativistes, la interacció spin-òrbita i el terme de Darwin, que donen compte de l'estructura fina dels nivells electrònics de l'àtom.

Figura 1. Orbitals electrònics en l'àtom d'hidrogen per als tres primers nivells d'energia. Font: Wikimedia Commons.

A partir de 1928, els científics Paul AM Dirac (1902-1984) i Pascual Jordan (1902-1980), es van proposar generalitzar la mecànica quàntica desenvolupada per Schrödinger, perquè inclogués les correccions de la relativitat especial d'Einstein.

Dirac part de l'equació de Schrödinger, que consta d'un operador diferencial, anomenat hamiltonià, que opera sobre una funció coneguda com la funció d'ona de l'electró. No obstant això Schrödinger no va prendre en compte els efectes relativistes.

Les solucions de la funció d'ona permeten calcular les regions on amb cert grau de probabilitat es trobarà l'electró al voltant de l'nucli. Aquestes regions o zones s'anomenen orbitals i depenen de certs nombres quàntics discrets, que defineixen l'energia i el momentum angular de l'electró.

postulats

En les teories mecànic quàntiques, ja siguin relativistes o no, no existeix el concepte d'òrbites, ja que ni la posició ni la velocitat de l'electró poden precisar simultàniament. I a més, precisar una de les variables condueix a una imprecisió total en l'altra.

Per la seva banda, el hamiltonià és un operador matemàtic que actua sobre la funció d'ona quàntica i es construeix a partir de l'energia de l'electró. Per exemple, un electró lliure té energia total E que depèn del seu momentum lineal p d'aquesta manera:

E = (p ²) / 2m

Per construir el hamiltonià es parteix d'aquesta expressió i se substitueix p per l'operador quàntic per al momentum:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

És important destacar que els termes p i p són diferents, ja que el primer és el momentum i l'altre és l'operador diferencial associat a l'momentum.

Addicionalment, i és la unitat imaginària i ħ la constant de Planck dividida entre 2π, d'aquesta manera s'obté l'operador hamiltonià H de l'electró lliure:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Per trobar el hamiltonià de l'electró en l'àtom, s'afegeix la interacció de l'electró amb el nucli:

H = (H2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

En l'expressió anterior -i és la càrrega elèctrica de l'electró i Φ (r) el potencial electrostàtic produït pel nucli central.

Ara, l'operador H actua sobre la funció d'ona ψ d'acord a l'equació de Schrödinger, que s'escriu així:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Els quatre postulats de Dirac

Primer postulat: l'equació d'ona relativista té la mateixa estructura que l'equació d'ona de Schrödinger, el que canvia és l'H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Segon postulat: l'operador hamiltonià es construeix partint de la relació energia-momentum d'Einstein, la qual s'escriu així:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

En la relació anterior, si la partícula té momentum p = 0 llavors es té la famosa equació E = mc ² que relaciona l'energia en repòs de qualsevol partícula de massa m amb la velocitat de la llum c.

Tercer postulat: per obtenir l'operador hamiltonià es fa servir la mateixa regla de quantització emprada en l'equació de Schrödinger:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

A l'començament, no era clar com manejar aquest operador diferencial actuant dins d'una arrel quadrada, de manera que Dirac es va proposar obtenir un operador Hamiltonià lineal en l'operador momentum i d'allí va sorgir el seu quart postulat.

Quart postulat: per desfer-se de l'arrel quadrada en la fórmula d'energia relativista, Dirac va proposar la següent estructura per E ²:

Per descomptat, cal determinar els coeficients alfa (α0, α1, α2, α3) perquè això es compleixi.

L'equació de Dirac

En la seva forma compacta, l'equació de Dirac és considerada una de les equacions matemàtiques més belles de l'món:

Figura 2. Equació de Dirac en forma compacta. Font: F. Zapata.

I és llavors quan es posa en evidència que les constants alfes no poden ser quantitats escalars. L'única forma en què es compleixi la igualtat de la cambra postulat és que siguin matrius constants 4 × 4, les quals es coneixen com a matrius de Dirac:

Immediatament s'observa que la funció d'ona deixa de ser una funció escalar i passa a ser un vector de quatre components anomenat espinor:

L'àtom de Dirac-Jordan

Per obtenir el model atòmic és necessari passar de l'equació de l'electró lliure a la de l'electró en el camp electromagnètic produït pel nucli atòmic. Aquesta interacció es té en compte incorporant el potencial escalar Φ i el potencial vectorial A en el hamiltonià:

La funció d'ona (espinor) que resulta d'incorporar aquest hamiltonià té les següents característiques:

- Compleix la relativitat especial, ja que té en compte l'energia intrínseca de l'electró (primer terme de l'hamiltonià relativista)

- Té quatre solucions corresponents a les quatre components de l'espinor

- Les dues primeres solucions es corresponen una a l'l'espín + ½ i l'altra a l'espín - ½

- Finalment, les altres dues solucions prediuen l'existència de l'antimatèria, ja que corresponen a la dels positrons d'espines contraris.

El gran avantatge de l'equació de Dirac és que les correccions a l'Hamiltonià bàsic de Schrödinger H (o) poden desglossar en diversos termes que mostrarem a continuació:

En l'expressió anterior V és el potencial escalar, ja que el potencial vector A és nul si se suposa a l'protó central estacionari i per això no apareix.

La raó per què les correccions de Dirac respecte a les solucions de Schrödinger en la funció d'ona són subtils. Sorgeixen de el fet que els tres últims termes de l'hamiltonià corregit estan tots dividits per la velocitat c de la llum a l'quadrat, un nombre immens, el que fa que aquests termes siguin numèricament petits.

Correccions relativistes a l'espectre d'energia

Usant l'equació de Dirac-Jordan es troben correccions a l'espectre d'energia de l'electró en l'àtom d'hidrogen. També es troben correccions per a l'energia en els àtoms amb més d'un electró en forma aproximada a través d'un metodologia coneguda com teoria de pertorbacions.

De la mateixa manera, el model de Dirac permet trobar la correcció d'estructura fina en els nivells d'energia de l'hidrogen.

No obstant això, correccions més subtils encara com l'estructura hiperfina i el corriment de Lamb s'obtenen de models més avançats com la teoria quàntica de camps, que neix justament per les aportacions de el model de Dirac.

La següent figura mostra com són les correccions relativistes de Dirac als nivells d'energia:

Figura 3. Correccions de el model de Dirac als nivells de l'àtom d'hidrogen. Font: Wikimedia Commons.

Per exemple, les solucions a l'equació de Dirac prediuen correctament un corriment observat en el nivell 2s. És la coneguda correcció d'estructura fina a la línia Lyman - alfa de l'espectre de l'hidrogen (veure figura 3).

Per cert, l'estructura fina és el nom que rep en física atòmica el desdoblament de les línies de l'espectre d'emissió dels àtoms, la qual cosa és una conseqüència directa de l'espín electrònic.

Figura 4. Desdoblament d'estructura fina per a l'estat base n = 1 i el primer estat excitat n = 2 en l'àtom d'hidrogen. Font: R Wirnata. Relativistic corrections to hydrogen-like atoms. Researchgate.net

Articles d'interès

Model atòmic de Broglie.

Model atòmic de Chadwick.

Model atòmic de Heisenberg.

Model atòmic de Perrin.

Model atòmic de Thomson.

Model atòmic de Dalton.

Model atòmic de Schrödinger.

Model atòmic de Demòcrit.

Model atòmic de Bohr.

referències

1. Atomic theory. Recuperat de wikipedia.org.
2. Electron Magnetic Moment. Recuperat de wikipedia.org.
3. Quanta: A handbook of concepts. (1974). Oxford University Press. Recuperat de Wikipedia.org.
4. Model atòmic de Dirac Jordan. Recuperat de prezi.com.
5. The New Quantum Universe. Cambridge University Press. Recuperat de Wikipedia.org.