La mitjana ponderada o mitjana aritmètica ponderada, és una mesura de tendència central en la qual, a cada valor x i que pot prendre una variable X, se li assigna un pes p i. Com a resultat d'això, a l'denotar a la mitjana ponderada per x p, es té:
Amb la notació de sumatori, la fórmula per la mitjana ponderada és:
On N representa la quantitat de valors que s'escullen de la variable X.
El p I, a què també se l'anomena factor de ponderació, és una mesura de la importància que l'investigador li assigna a cada valor. Aquest factor és arbitrari i sempre positiu.
En això que la mitjana ponderada es diferencia de la mitjana aritmètica simple, perquè en aquesta, cada un dels valors x n té igual significança. No obstant això, en nombroses aplicacions, l'investigador possiblement consideri que alguns valors són més importants que altres i els assignarà un pes segons el seu criteri.
Aquí està l'exemple més conegut: suposem que un estudiant presenta N avaluacions en una matèria i totes tenen el mateix pes en la nota final. En aquest cas, per calcular la nota definitiva serà suficient amb fer una mitjana simple, és a dir, sumar totes les qualificacions i dividir el resultat entre N.
Però si cada activitat té un pes diferent, perquè algunes avaluen continguts més importants o més complexos, llavors caldrà multiplicar cada avaluació pel seu respectiu pes, i després sumar els resultats per obtenir la qualificació definitiva. Veurem com dur a terme aquest procediment en la secció d'exercicis resolts.
exemples
Figura 1. La mitjana ponderada s'aplica a l'calcular l'índex de preus a consumidor, un indicador de la inflació. Font: PxHere.
L'exemple de les qualificacions abans descrit és un dels més típics pel que fa a l'aplicació de la mitjana ponderada. Una altra aplicació molt important en economia és l'índex de preus de consum o índex de preus a l'consumidor IPC, també anomenada cistella familiar i que serveix com a avaluador de la inflació en una economia.
En la seva elaboració es tenen en compte una sèrie de rubros com aliments i begudes no alcohòliques, roba i calçat, medicaments, transport, comunicacions, educació, oci i altres béns i serveis.
Els experts assignen a cada rubro un factor de ponderació, segons la seva importància en la vida de les persones. Els preus es recullen durant un període de temps establert, i amb tota la informació es calcula l'IPC de l'esmentat període, que pot ser mensual, bimensual, semestral o anual, per exemple.
El centre de masses d'un sistema de partícules
En física, la mitjana ponderada té una important aplicació, que és calcular el centre de masses d'un sistema partícules. Aquest concepte és molt útil quan es treballa amb un cos estès, en el qual s'ha de prendre en compte la seva geometria.
El centre de masses es defineix com el punt en el qual es concentra tota la massa d'un objecte estès. Sobre aquest punt es poden aplicar les forces com el pes, per exemple, i així explicar els seus moviments de translació i rotació, mitjançant les mateixes tècniques amb què es treballava quan se suposava que tots els objectes eren partícules.
Per simplicitat, es comença suposant que el cos estès està compost d'una quantitat N de partícules, cadascuna d'elles amb massa mi la seva pròpia ubicació en l'espai: el punt de coordenades (x i, i i, z i).
Sigui x CM la coordenada x d'el centre de masses CM, llavors:
b) Definitiva = (5.0 x 0.2) + (4.7 x 0.25) + (4.2 x 0.25) + (3.5 x 0.3) punts = 4.275 punts ≈ 4.3 punts
- Exercici 2
Els amos d'una botiga de roba van comprar pantalons texans a tres diferents proveïdors.
El primer els va vendre 12 unitats a un preu de 15 € cadascuna, el segon 20 unitats a 12.80 € cadascuna ia un tercer li van comprar un lot de 80 unitats a 11.50 €.
Quin és el preu mitjà que han pagat els amos de la botiga per cada vaquer?
solució
x p = (12 x 15 + 20 x 12.80 +80 x 11.50) / (12 + 20 + 80) € = 12.11 €
El valor de cada vaquer és 12.11 €, independentment que alguns costessin una mica més i altres una mica menys. Hauria estat exactament igual si els amos de la botiga haguessin comprat els 112 texans a un proveïdor únic que se'ls hagués venut a 12.11 € la peça.
referències
- Arvelo, A. Mesures de Tendència Central. Recuperat de: franarvelo.wordpress.com
- Mendenhall, W. 1981. Estadística per Administració i Economia. 3ra. edició. Grup Editorial Iberoamèrica.
- Moore, D. 2005. Estadística Bàsica Aplicada. 2dóna. Edició.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Mitjana ponderada. Recuperat de: en.wikipedia.org