ÀLGEBRA VECTORIAL: FONAMENTS, MAGNITUDS, VECTORS - MATEMÀTIQUES

L' àlgebra vectorial és una branca de les matemàtiques encarregada d'estudiar sistemes d'equacions lineals, vectors, matrius, espais vectorials i les seves transformacions lineals. Es relaciona amb àrees com enginyeria, resolució d'equacions diferencials, anàlisi funcional, investigació d'operacions, gràfiques computacionals, entre d'altres.

Una altra de les àrees que ha adoptat l'àlgebra lineal és la física, ja que a través d'aquesta s'ha aconseguit desenvolupar l'estudi de fenòmens físics, descrivint-mitjançant l'ús de vectors. Això ha fet possible una millor comprensió de l'univers.

fonaments

L'àlgebra vectorial es va originar d'l'estudi dels quaternions (extensió dels nombres reals) 1, i, j, k, així com també de la geometria cartesiana promoguda per Gibbs i Heaviside, que es van adonar que els vectors servirien d'instrument per a representar diversos fenòmens físics.

L'àlgebra vectorial és estudiada a través de tres fonaments:

geomètricament

Els vectors són representats per rectes que tenen una orientació, i les operacions com a suma, resta i multiplicació per nombres reals són definides a través de mètodes geomètrics.

analíticament

La descripció dels vectors i les seves operacions és realitzada amb nombres, anomenats components. Aquest tipus de descripció és resultat d'una representació geomètrica perquè s'utilitza un sistema de coordenades.

axiomàticament

Es fa una descripció dels vectors, sense importar el sistema de coordenades o de qualsevol tipus de representació geomètrica.

L'estudi de figures en l'espai es fa a través de la seva representació en un sistema de referència, que pot ser en una o més dimensions. Entre els principals sistemes es troben:

- Sistema unidimensional, que es tracta d'una recta on un punt (O) representa l'origen i un altre punt (P) determina l'escala (longitud) i el sentit d'aquesta:

- Sistema de coordenades rectangulars (bidimensional), que està compost per dues rectes perpendiculars anomenades eix xi eix i, que passen per un punt (O) origen; d'aquesta forma el pla queda dividit en quatre regions anomenades quadrants. En aquest cas un punt (P) en el pla és donat per les distàncies que hi ha entre els eixos i P.

- Sistema de coordenades polars (bidimensional). En aquest cas el sistema és compost per un punt O (origen) que és anomenat pol i una semirecta amb origen en O trucades eix polar. En aquest cas el punt P de el pla, amb referència a el pol i a l'eix polar, és donat per l'angle (ɵ), que es forma per la distància que hi ha entre l'origen i el punt P.

- Sistema tridimensional rectangular, format per tres rectes perpendiculars (x, i, z) que tenen com a origen un punt O en l'espai. Es formen tres plans coordenats: xy, xz i yz; l'espai quedarà dividit en vuit regions anomenades octants. La referència d'un punt P de l'espai és donada per les distàncies que hi ha entre els plànols i P.

magnituds

Una magnitud és una quantitat física que pot ser explicada o mesura a través d'un valor numèric, com en el cas d'alguns fenòmens físics; però, moltes vegades és necessari poder descriure aquests fenòmens amb altres factors que no siguin numèrics. Per això les magnituds són classificades en dos tipus:

magnitud escalar

Són aquelles quantitats que es defineixen i representen de forma numèrica; és a dir, per un mòdul juntament amb una unitat de mesura. Per exemple:

a) Temps: 5 segons.

b) Massa: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

magnitud vectorial

Són aquelles quantitats que són definides i representades per un mòdul juntament amb una unitat, així com també per un sentit i direcció. Per exemple:

a) Velocitat: (5ȋ - 3J) m / s.

b) Acceleració: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Força: 280 N, 120º.

d) Pes: -40 ĵ kg-f.

Les magnituds vectorials són representades gràficament per vectors.

Què són vectors?

Els vectors són representacions gràfiques d'una magnitud vectorial; és a dir, són segments de recta en què el seu extrem final és la punta d'una fletxa.

Aquests són determinats pel seu mòdul o longitud de l'segment, el seu sentit que és indicat per la punta de la seva fletxa i la seva adreça d'acord amb la recta a la qual pertanyi. L'origen d'un vector és també conegut com el punt d'aplicació.

Els elements d'un vector són els següents:

mòdul

És la distància que hi ha des de l'origen fins a l'extrem d'un vector, representada per un nombre real juntament amb una unitat. Per exemple:

-OM- = -A- = A = 6 cm

direcció

És la mesura de l'angle que hi ha entre l'eix x (a partir de l'positiu) i el vector, així com també s'utilitzen els punts cardinals (nord, sud, est i oest).

sentit

És donat per la punta de fletxa situada a l'extrem de el vector, indicant cap a on es dirigeix aquest.

Classificació dels vectors

Generalment, els vectors són classificats com:

vector fix

És aquell el punt d'aplicació (origen) és fix; és a dir, que es manté lligat a un punt de l'espai, de manera que no pot desplaçar-se en aquest.

vector lliure

Pot moure lliurement en l'espai perquè el seu origen es trasllada a qualsevol punt sense canviar el seu mòdul, sentit o direcció.

vector lliscant

És aquell que pot traslladar el seu origen al llarg de la seva línia d'acció sense canviar el seu mòdul, sentit o direcció.

Propietats dels vectors

Entre les principals propietats dels vectors es troben les següents:

vectors equipol·lents

Són aquells vectors lliures que tenen igual mòdul, direcció (o aquestes són paral·leles) i sentit que un vector lliscant o un vector fix.

vectors equivalents

Ocorre quan dos vectors tenen la mateixa direcció (o són paral·leles), el mateix sentit, i tot i tenir diferents mòduls i punts d'aplicació, aquests provoquen efectes iguals.

Igualtat de vectors

Aquests tenen igual mòdul, direcció i sentit, tot i que els seus punts de partida són diferents, el que permet que un vector paral·lel es traslladi a si mateix sense afectar-lo.

vectors oposats

Són aquells que tenen el mateix mòdul i direcció, però el seu sentit és oposat.

vector unitari

És aquell en el qual el mòdul és igual a la unitat (1). Aquest s'obté a l'dividir el vector pel seu mòdul i és utilitzat per determinar la direcció i sentit d'un vector, bé sigui en el pla o en l'espai, utilitzant els vectors base o unitaris normalitzats, que són:

vector nul

És aquell el mòdul és igual a 0; és a dir, el seu punt d'origen i extrem coincideixen en un mateix punt.

Components d'un vector

Les components d'un vector són aquells valors de les projeccions de el vector sobre els eixos de sistema de referència; depenent de la descomposició de el vector, que pot ser en eixos de dues o tres dimensions, s'obtindran dues o tres components, respectivament.

Les components d'un vector són nombres reals, que poden ser positius, negatius o fins i tot zero (0).

D'aquesta manera, si es té un vector Ā, amb origen en un sistema de coordenades rectangulars en el pla xy (bidimensional), la projecció sobre l'eix x és Ax i la projecció sobre l'eix i és Aj. Així, el vector s'expressarà com la suma dels seus vectors components.

exemples

primer exemple

Es té un vector Ā que parteix de l'origen i les coordenades dels seus extrems són donades. Així, el vector Ā = (Ā _x; A _i) = (4, 5) cm.

Si el vector Ā actua en l'origen d'un sistema de coordenades triangulars tridimensionals (en l'espai) x, i, z, fins a un altre punt (P), les projeccions sobre els seus eixos seran AX, ai i az; així, el vector s'expressarà com la suma dels seus tres vectors components.

segon exemple

Es té un vector Ā que parteix de l'origen i les coordenades dels seus extrems són donades. Així, el vector Ā = (A _x; A _i; A _z) = (4, 6; -3) cm.

Els vectors que tenen les seves coordenades rectangulars poden expressar-se en funció dels seus vectors base. Per això només s'ha de multiplicar cada coordenada pel seu respectiu vector unitari, de manera que per al pla i l'espai seran les següents:

Per al pla: Ā = A _x i + A _i j.

Per a l'espai: Ā = A _x i + A _i j + A _z k.

Operacions amb vectors

Existeixen moltes magnituds que tenen mòdul, sentit i direcció, com acceleració, velocitat, desplaçament, força, entre d'altres.

Aquestes són aplicades en diverses àrees de la ciències, i per aplicar-les es fa necessari en alguns casos realitzar operacions com suma, resta, multiplicació i divisió de vectors i escalars.

Suma i resta de vectors

La suma i resta de vectors és considerada una sola operació algebraica perquè la resta pot ser escrita com una suma; per exemple, la resta dels vectors Ā i Ē pot expressar-se com:

Ā - Ē = Ā + (-i)

Hi ha diferents mètodes per realitzar la suma i resta de vectors: poden ser gràfics o analítics.

mètodes gràfics

Utilitzats quan un vector posseeix mòdul, sentit i direcció. Per a això es tracen línies que formen una figura que posteriorment ajuden a determinar la resultant. Entre els més coneguts destaquen els següents:

Mètode de l'paral

Per fer la suma o resta de dos vectors es tria un punt en comú sobre l'eix de coordenades -que representarà el punt d'origen dels vectores-, mantenint la seva mòdul, sentit i adre.

Llavors es tracen línies paral·leles als vectors per formar un paral. El vector resultant és la diagonal que surt des del punt d'origen de tots dos vectors fins al vèrtex de l'paral:

Mètode de el triangle

En aquest mètode els vectors es col·loquen un a continuació de l'altra, mantenint les seves mòduls, sentits i direccions. El vector resultant serà la unió de l'origen del primer vector amb l'extrem de l'segon vector:

mètodes analítics

Es poden sumar o restar dos o més vectors a través d'un mètode geomètric o vectorial:

mètode geomètric

Quan dos vectors formen un triangle o paral·lelogram, el m).push ({});

- Propietat distributiva escalar: si es multiplica un vector per la suma de dos escalars, és igual a la multiplicació de el vector per cada escalar.

Multiplicació de vectors

La multiplicació o producte de vectors pogués realitzar-se com la suma o resta, però a el fer-ho d'aquesta forma perd el significat físic i gairebé mai es troba dins de les aplicacions. Per això, generalment els tipus de productes més utilitzats són el producte escalar i vectorial.

producte escalar

És conegut també com a producte punt de dos vectors. Quan es multipliquen els mòduls de dos vectors pel cosinus de l'angle menor que es forma entre aquests s'obté un escalar. Per expressar un producte escalar entre dos vectors es col·loca un punt entre aquests, i aquest pot definir-se com:

El valor de l'angle que hi ha entre els dos vectors dependrà de si aquests són paral·lels o perpendiculars; així, s'ha de:

- Si els vectors són paral·lels i tenen el mateix sentit, cosinus 0º = 1.

- Si els vectors són paral·lels i tenen sentits oposats, cosinus 180º = -1.

- Si els vectors són perpendiculars, cosinus 90º = 0.

Aquest angle també pot ser calculat sabent que:

El producte escalar té les següents propietats:

- Propietat commutativa: l'ordre dels vectors no altera l'escalar.

-Propietat distributiva: si es multiplica un escalar per la suma de dos vectors, és igual a la multiplicació de l'escalar per cada vector.

producte vectorial

La multiplicació vectorial, o producte creu de dos vectors A i B, donarà com a resultat un nou vector C i s'expressa utilitzant una creu entre els vectors:

El nou vector tindrà les seves pròpies característiques. D'aquesta manera:

- La direcció: aquest nou vector serà perpendicular a el pla, que és determinat pels vectors originals.

- El sentit: aquest es determina amb la regla de la mà dreta, on es gira el vector A cap al B assenyalant el sentit de la rotació amb els dits, i amb el polze es marca el sentit de el vector.

- El mòdul: és determinat per la multiplicació dels mòduls dels vectors AxB, pel si de l'angle menor que hi ha entre aquests vectors. S'expressa:

El valor de l'angle que hi ha entre els dos vectors dependrà de si aquests són paral·lels o perpendiculars. Llavors, és possible afirmar el següent:

- Si els vectors són paral·lels i tenen el mateix sentit, si 0º = 0.

- Si els vectors són paral·lels i tenen sentits oposats, si 180º = 0.

- Si els vectors són perpendiculars, si 90º = 1.

Quan un producte vectorial és expressat en funció dels seus vectors bases, s'ha de: