HOMOCEDASTICITAT: QUÈ ÉS, IMPORTÀNCIA I EXEMPLES - DUDAS - 2026

La homocedasticitat en un model estadístic predictiu passa si en tots els grups de dades d'una o més observacions, la variància de el model respecte de les variables explicatives (o independents) es manté constant.

Un model de regressió pot ser homocedástico o no, en aquest cas es parla de heterocedasticitat.

Figura 1. Cinc grups de dades i ajust per regressió del conjunt. La variància respecte a el valor predit és igual en cada grup. (Upav-biblioteca.org)

Un model estadístic de regressió de diverses variables independents es diu homocedástico, només si la variància de l'error de la variable predita (o la desviació estàndard de la variable dependent) es manté uniforme per a diferents grups valors de les variables explicatives o independents.

En els cinc grups de dades de la figura 1, s'ha calculat la variància en cada grup, respecte de la valor estimat per la regressió, resultant ser igual a cada grup. Se suposa a més que les dades segueixen la distribució normal.

A nivell gràfic significa que els punts estan igualment dispersos o escampats al voltant de la valor predit per l'ajust de regressió, i que el model de regressió té el mateix error i validesa per al rang de la variable explicativa.

Importància de la homocedasticitat

Per il·lustrar la importància de la homocedasticitat en estadística predictiva, cal contrastar amb el fenomen contrari, la heterocedasticitat.

Homocedasticitat versus heterocedasticitat

En el cas de la figura 1, en la qual hi ha homocedasticitat es compleix que:

Var ((y1-I1); X1) ≈ Var ((y2-I2); X2) ≈…… Var ((i4-Y4); X4)

On Var ((yi-Yi); Xi) representa la variància, el parell (xi, yi) representa una dada de el grup I, mentre que Yi és el valor que prediu la regressió per al valor mitjà Xi de el grup. La variància dels n dades de el grup i es calcula així:

Var ((yi-Yi); Xi) = Σj (YIJ - Yi) ^ 2 / n

Per contra, quan es produeix heterocedasticitat el model de regressió pot no ser vàlid per a tota la regió en què va ser calculat. La figura 2 mostra un exemple d'aquesta situació.

Figura 2. Grup de dades que presenten heterocedasticitat. (Elaboració pròpia)

A la figura 2 es representen tres grups de dades i l'ajust del conjunt mitjançant una regressió lineal. Ha de notar-se que les dades en el segon i en el tercer grup estan més dispersos que en el primer grup. El gràfic de la figura 2 també mostra el valor mitjà de cada grup i la seva barra d'error ± σ, sent la σ desviació estàndard de cada grup de dades. Cal recordar que la desviació estàndard σ és l'arrel quadrada de la variància.

És clar que en el cas de la heterocedasticitat, l'error de l'estimació per regressió és canviant en el rang de valors de la variable explicativa o independent, i en els intervals on aquest error és molt gran, la predicció per regressió és poc fiable o no aplicable.

En un model de regressió dels errors o residus (i -I) s'han de distribuir amb la mateixa variància (σ ^ 2) en tot l'interval de valors de la variable independent. És per aquesta raó que un bon model de regressió (lineal o no lineal) ha de passar la prova de homocedasticitat.

Proves d'homocedasticitat

Els punts que es mostren a la figura 3 corresponen a les dades d'un estudi que busca una relació entre els preus (en dòlars) dels habitatges en funció de la mida o àrea en metres quadrats.

El primer model que s'assaja és el d'una regressió lineal. En primer lloc es nota que el coeficient de determinació R ^ 2 de l'ajust és força alt (91%), pel que pot pensar-se que l'ajust és satisfactori.

No obstant això de el gràfic de l'ajust poden distingir clarament dues regions. Una d'elles, la de la dreta tancada en un oval, compleix homocedasticitat, mentre que la regió de l'esquerra no té homoscedasticitat.

Això vol dir que la predicció de el model de regressió és adequada i fiable en el rang comprès entre 1800 m ^ 2-4800 m ^ 2 però molt inadequada fora d'aquesta regió. A la zona heterocedástica no només l'error és molt gran, sinó que a més les dades semblen seguir una altra tendència diferent a la proposada pel model de regressió lineal.

Figura 3. Preus d'habitatge vs àrea i model predictiu per regressió lineal, mostrant zones de homoscedasticitat i heterocedasticitat. (Elaboració pròpia)

El gràfic de dispersió de les dades és la prova més simple i visual de la homoscedasticitat dels mateixos, però en ocasions on no és tan evident com en l'exemple mostrat a la figura 3, cal recórrer a gràfics amb variables auxiliars.

variables estandarditzades

Amb el propòsit de separar les zones on es compleix la homocedasticitat i en les que no, s'introdueixen les variables estandarditzades ZRes i ZPred:

ZRes = Abs (i - I) / σ

ZPred = I / σ

Ha de notar-se que aquestes variables depenen de el model de regressió aplicat, ja que I és el valor de la predicció per regressió. A continuació es presenta el gràfic de dispersió ZRes vs ZPred per al mateix exemple:

Figura 4. Ha de notar-se que a la zona de homocedasticitat el ZRes es manté uniforme i petit a la regió de predicció (elaboració pròpia).

En el gràfic de la figura 4 amb les variables estandarditzades, se separa clarament la zona on l'error residual és petit i uniforme, respecte de la qual no. A la primera zona es compleix la homocedasticitat mentre que a la regió on l'error residual és molt variable i gran es compleix la heterocedasticitat.

A el mateix grup de dades de la figura 3 se li aplica un ajust per regressió, en aquest cas l'ajust és no-lineal, ja que el model usat involucra una funció potencial. El resultat es mostra a la figura següent:

Figura 5. Noves zones de homocedasticitat i heterocedasticitat en ajust de dades amb un model de regressió no-lineal. (Elaboració pròpia).

En el gràfic de la figura 5 ha de notar-se clarament les zones homocedásticas i heterocedástica. Ha de notar també que aquestes zones es van intercanviar respecte a les que es formaven en el model d'ajust lineal.

En el gràfic de la figura 5 queda en evidència que tot i que es té un coeficient de determinació de l'ajust bastant alt (93,5%), el model no és adequat per a tot l'interval de la variable explicativa, ja que les dades per a valors majors a 2000 m ^ 2 presenten heterocedasticitat.

Proves no-gràfiques de homocedasticitat

Una de les proves no-gràfica més utilitzada per verificar si es compleix o no la homocedasticitat és la prova de Breusch-Paguen.

No es donarà en aquest article tots els detalls d'aquesta prova però s'esbossa a grans trets les seves característiques fonamentals i els passos de la mateixa:

1. S'aplica el model de regressió a les n dades i es calcula la variància dels mateixos respecte a el valor estimat pel model σ ^ 2 = Σj (ij - I) ^ 2 / n.
2. Es defineix una nova variable ε = ((j - I) ^ 2) / (σ ^ 2)
3. S'aplica el mateix model de regressió a la nova variable i es calculen els seus nous paràmetres de la regressió.
4. Es determina el valor crític Chi quadrat (χ ^ 2), d'aquesta manera la meitat de la suma dels quadrats nous residus a la variable ε.
5. Es fa servir la taula de la distribució Chi quadrat considerant en l'eix x de la taula el nivell de significació (usualment 5%) i el nombre de graus de llibertat (#de variables de la regressió menys la unitat), per obtenir el valor de la taula.
6. Es compara el valor crític obtingut en el pas 3 amb el valor trobat a la taula (χ ^ 2).
7. Si el valor crític està per sota del de la taula es té la hipòtesi nul·la: hi ha homocedasticitat
8. Si el valor crític està per sobre del de la taula es té la hipòtesi alternativa: no hi ha homoscedasticitat.

La major part dels paquets informàtics estadístics com: SPSS, Minitab, R, Python Pandes, SAS, StatGraphic i diversos altres incorporen la prova d'homoscedasticitat de Breusch-Paguen. Una altra prova per verificar uniformitat de variància el test de Levene.

referències

1. Box, Hunter & Hunter. (1988) Estadística per a investigadors. Reverté editors.
2. Johnston, J (1989). Mètodes d'econometria, Vicens -vius editors.
3. Murillo i González (2000). Manual d'econometria. Universitat de Les Palmes de Gran Canària. Recuperat de: ulpgc.es.
4. Wikipedia. Homoscedasticitat. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Homoscedasticity. Recuperat de: en.wikipedia.com