- Tipus de graus de llibertat
- En un cas mecànic
- En un conjunt de valors aleatoris
- exemples
- Variància i graus de llibertat
- En la distribució Chi quadrat
- En el contrast d'hipòtesis (Amb exemple resolt)
- referències
Els graus de llibertat en estadística són el nombre de components independents d'un vector aleatori. Si el vector té n components i hi ha p equacions lineals que relacionen els seus components, llavors el grau de llibertat és np.
El concepte de graus de llibertat també apareix en mecànica teòrica, on a grans trets equivalen a la dimensió de l'espai on la partícula es mou, menys el nombre de lligadures.
Figura 1. Un pèndol es mou en dues dimensions, però només té un grau de llibertat perquè està obligat a moure en un arc de ràdio L. Font: F. Zapata.
En aquest article es tractarà el concepte de graus de llibertat aplicat a l'estadística, però un exemple mecànic és més fàcil de visualitzar en forma geomètrica.
Tipus de graus de llibertat
Segons el context en què s'apliqui, la forma de fer el càlcul de l'nombre de graus de llibertat pot variar, però la idea subjacent sempre és la mateixa: dimensions totals menys nombre de restriccions.
En un cas mecànic
Considerem una partícula que oscil·la lligada a una corda (un pèndol) que es mou en el pla vertical xi (2 dimensions). No obstant això, la partícula està obligada a moure sobre la circumferència de radi igual a la longitud de la corda.
Com la partícula només es pot moure sobre aquesta corba, el nombre de graus de llibertat és 1. Això es pot visualitzar a la figura 1.
La forma de calcular el nombre de graus de llibertat és prenent la diferència de nombre de dimensions menys el nombre de restriccions:
graus de llibertat: = 2 (dimensions) - 1 (lligadura) = 1
Una altra explicació que ens permet arribar a el resultat és la següent:
-Sabem que la posició en dues dimensions està representada per un punt de coordenades (x, y).
-Però com el punt de complir l'equació de la circumferència (x 2 + i 2 = L 2) per a un valor donat de la variable x, la variable i queda determinada per aquesta equació o restricció.
D'aquesta manera, només una de les variables és independent i el sistema té un (1) grau de llibertat.
En un conjunt de valors aleatoris
Per il·lustrar el que significa el concepte suposem el vector
x = (x 1, x 2,…, x n)
Que representa la mostra de n valors aleatoris normalment distribuïts. En aquest cas el vector aleatori x té n components independents i per tant es diu que x té n graus de llibertat.
Construïm ara el vector r dels residus
r = (x 1 -
on
Llavors la suma
(x 1 -
És una equació que representa una restricció (o lligadura) en els elements de el vector r dels residus, ja que si es coneixen n-1 components de el vector r, l'equació de restricció determina la component desconeguda.
Per tant el vector r de dimensió n amb la restricció:
Σ (x i -
Té (n - 1) graus de llibertat.
Novament s'aplica que el càlcul de l'nombre de graus de llibertat és:
graus de llibertat: = n (dimensions) - 1 (restriccions) = n-1
exemples
Variància i graus de llibertat
La variància s 2 es defineix com la mitjana de l'quadrat de les desviacions (o residus) de la mostra de n dades:
s 2 = (r • r) / (n-1)
on r és el vector dels residus r = (x1 -
s 2 = Σ (x i -
En tot cas, ha de notar-se que a l'calcular la mitjana de l'quadrat dels residus es divideix entre (n-1) i no entre n, ja que com es va discutir en la secció prèvia, el nombre de graus de llibertat de el vector r és (n-1).
Si per al càlcul de la variància es dividís entre n en comptes de (n-1), el resultat tindria un biaix que és molt significatiu per a valors de n menors a 50.
En la literatura apareix també la fórmula de la variància amb el divisor n en comptes de (n-1), quan es tracta de la variància d'una població.
Però el conjunt de la variable aleatòria dels residus, representada pel vector r, si bé té dimensió n, només té (n-1) graus de llibertat. Això no obstant, si el nombre de dades és prou gran (n> 500), totes dues fórmules convergeixen a el mateix resultat.
Les calculadores i fulls de càlcul ofereixen les dues versions de la variància i de la desviació estàndard (que és l'arrel quadrada de la variància).
La nostra recomanació, en vista de l'anàlisi presentada aquí, és triar sempre la versió amb (n-1) cada vegada que es requereixi calcular la variància o la desviació estàndard, per evitar resultats amb biaix.
En la distribució Chi quadrat
Algunes distribucions de probabilitat en variable aleatòria contínua depenen d'un paràmetre anomenat grau de llibertat, és el cas de la distribució Chi quadrat (χ 2).
El nom d'aquest paràmetre prové justament dels graus de llibertat de el vector aleatori subjacent a què s'aplica aquesta distribució.
Supose que es té g poblacions, de les que es prenen mostres de grandària n:
X 1 = (x1 1, x1 2,…..x1 n)
X2 = (x2 1, x2 2,…..x2 n)
….
X j = (xj 1, xj 2,…..xj n)
….
Xg = (xg 1, xg 2,…..xg n)
Una població j que té mitjana
La variable tipificada o normalitzada ZJ i es defineix com:
ZJ i = (xj i -
I el vector ZJ es defineix així:
ZJ = (ZJ 1, ZJ 2,…, ZJ i,…, ZJ n) i segueix la distribució normal tipificada N (0,1).
Llavors la variable:
Q = ((z1 1 ^ 2 + z2 1 ^ 2 +…. + Zg 1 ^ 2),…., (Z1 n ^ 2 + z2 n ^ 2 +…. + Zg n ^ 2))
segueix la distribució χ 2 (g) cridada la distribució chi quadrat amb grau de llibertat g.
En el contrast d'hipòtesis (Amb exemple resolt)
Quan es vol fer un contrast d'hipòtesis partint de cert conjunt de dades aleatòries, es requereix conèixer el nombre de graus de llibertat g per poder aplicar el test Chi quadrat.
Figura 2. Hi ha relació entre la preferència de SABOR de gelat i el GÈNERE de el client? Font: F. Zapata.
Com a exemple s'analitzaran les dades recollides sobre les preferències de gelats de xocolata o maduixa entre homes i dones en certa gelateria. La freqüència amb la qual homes i dones trien maduixa o xocolata, es resumeix a la figura 2.
En primer lloc es calcula la taula de freqüències esperades, la qual s'elabora multiplicant el total de files pel total de columnes, dividit entre total de dades. El resultat es mostra en la següent figura:
Figura 3. Càlcul de freqüències esperades sobre la base de la freqüències observades (valors en blau de la figura 2). Font: F. Zapata.
Després es procedeix a calcular el Chi quadrat (a partir de les dades) mitjançant la següent fórmula:
χ 2 = Σ (F o - F i) 2 / F i
On F o són les freqüències observades (Figura 2) i F i són les freqüències esperades (Figura 3). La sumatori va sobre totes les files i les columnes, que en el nostre exemple donen quatre termes.
Després de fer les operacions s'obté:
χ 2 = 0,2043.
Ara cal comparar amb el Chi quadrat teòric, el qual depèn de el nombre de graus de llibertat g.
En el nostre cas aquest nombre es determina de la següent manera:
g = (#filas - 1) (#columnas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.
Resulta que el nombre de graus de llibertat g d'aquest exemple es 1.
Si es vol comprovar o rebutjar la hipòtesi nul·la (H0: no hi ha correlació entre GUST i GÈNERE) amb un nivell de significació de l'1% es procedeix a calcular el valor Chi quadrat teòric amb grau de llibertat g = 1.
Es busca el valor que fa que la freqüència acumulada sigui (1 - 0.01) = 0.99, és a dir 99%. Aquest valor (que pot obtenir-se de les taules) és 6.636.
Com el Chi teòric supera el calculat, llavors es verifica la hipòtesi nul·la.
És a dir, que amb les dades recollides, no s'observa relació entre les variables GUST i GÈNERE.
referències
- Minitab. Què són els graus de llibertat? Recuperat de: support.minitab.com.
- Moore, David. (2009) Estadística aplicada bàsica. Antoni Bosch editor.
- Leigh, Jennifer. Com calcular graus de llibertat en models estadístics. Recuperat de: geniolandia.com
- Wikipedia. Grau de llibertat (estadística). Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Grau de llibertat (física). Recuperat de: es.wikipedia.com