El gradient de potencial és un vector que representa la relació de canvi de el potencial elèctric pel que fa a la distància en cada eix d'un sistema de coordenades cartesià. Així, el vector gradient de potencial indica la direcció en la qual la taxa de canvi de el potencial elèctric és més gran, en funció de la distància.
Al seu torn, el mòdul de el gradient de potencial reflecteix el ritme de canvi de la variació de potencial elèctric en una direcció particular. Si es té coneixement de la valor d'aquest en cada punt d'una regió espacial, llavors el camp elèctric pot obtenir a partir de el gradient de potencial.
El camp elèctric està definit com un vector, amb la qual cosa té una adreça i una magnitud específica. A l'determinar la direcció en què el potencial elèctric disminueix més ràpidament -allunyant-se de el punt de referència- i a l'dividir aquest valor per la distància recorreguda, s'obté la magnitud de camp elèctric.
Característiques
El gradient de potencial és un vector delimitat per coordenades espacials específiques, que mesura la relació de canvi entre el potencial elèctric i la distància recorreguda per aquest potencial.
A continuació es detallen les característiques més destacades de el gradient de potencial elèctric:
1- El gradient de potencial és un vector. Per tant, té una magnitud i una direcció específiques.
2- Ja que el gradient de potencial és un vector en l'espai, té magnituds direccionades en els eixos X (amplada), i (alt) i Z (profunditat), si es pren com a referència el sistema de coordenades cartesià.
3- Aquest vector es troba perpendicular a la superfície equipotencial en el punt en el qual s'avalua el potencial elèctric.
4- El vector de gradient de potencial va dirigit cap a la direcció de màxima variació de la funció de potencial elèctric en qualsevol punt.
5- El mòdul de el gradient de potencial és igual a la derivada de la funció de potencial elèctric que fa a la distància recorreguda en la direcció de cada un dels eixos de sistema de coordenades cartesià.
6- El gradient de potencial té valor zero en els punts estacionaris (màxims, mínims i punts de cadira).
7- En el sistema internacional d'unitats (SI), les unitats de mesura de el gradient de potencial són volts / metres.
8- La direcció de el camp elèctric és la mateixa en què el potencial elèctric disminueix la seva magnitud amb més rapidesa. Al seu torn, el gradient de potencial apunta en la direcció en la qual el potencial incrementa el seu valor en relació amb un canvi de posició. Llavors, el camp elèctric té el mateix valor de el gradient de potencial, però amb signe contrari.
Com calcular?
La diferència de potencial elèctric entre dos punts (punt 1 i punt 2), ve donada per la següent expressió:
on:
V1: potencial elèctric en el punt 1.
V2: potencial elèctric en el punt 2.
E: magnitud el camp elèctric.
Ѳ: angle la inclinació de el vector de camp elèctric mesurat amb relació a el sistema de coordenades.
A l'expressar aquesta fórmula de manera diferencial, es dedueix el següent:
El factor I * cos (Ѳ) es refereix a el mòdul de la component de camp elèctric en la direcció de dl. Sigui L l'eix horitzontal de el pla de referència, aleshores cos (Ѳ) = 1, així:
En endavant, el quocient entre la variació de potencial elèctric (dV) i la variació en la distància recorreguda (ds) és el mòdul de el gradient de potencial per a aquesta component.
D'allí es dedueix que la magnitud de el gradient de potencial elèctric és igual a el component de camp elèctric a la direcció d'estudi, però amb el signe contrari.
No obstant això, ja que l'entorn real és tridimensional, el gradient de potencial en un punt determinat ha de expressar-se com la suma de tres components espacials en els eixos X, Y i Z de el sistema cartesià.
A l'desglossar el vector de camp elèctric en els seus tres components rectangulars, es té el següent:
Si hi ha una regió al pla en la qual el potencial elèctric tingui el mateix valor, la derivada parcial d'aquest paràmetre pel que fa a cadascuna de les coordenades cartesianes serà nul·la.
Així, en punts que es trobin sobre superfícies equipotencials, la intensitat de camp elèctric tindrà magnitud zero.
Finalment, el vector de gradient de potencial pot definir-se com exactament el mateix vector de camp elèctric (en magnitud), amb signe contrari. Així, es té el següent:
exemple
Dels càlculs anteriors s'ha de:
Ara bé, abans de determinar el camp elèctric en funció de el gradient de potencial, o viceversa, s'ha de determinar en primer lloc quina és la direcció en què creix la diferència de potencial elèctric.
Després d'això es determina el quocient de la variació de l'potencial elèctric i la variació de la distància neta recorreguda.
D'aquesta manera s'obté la magnitud de el camp elèctric associat, que és igual a la magnitud de el gradient de potencial en aquesta coordenada.
exercici
Es tenen dues plaques paral·leles, tal com es reflecteix en la següent figura.
pas 1
Es determina la direcció de creixement de el camp elèctric sobre el sistema de coordenades cartesià.
El camp elèctric creix únicament en direcció horitzontal, donada la disposició de les plaques paral·leles. En conseqüència, és factible deduir que les components de el gradient de potencial en l'eix Y i l'eix Z són nul·les.
pas 2
Es discriminen les dades d'interès.
- Diferència de potencial: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Diferència en distància: dx = 10 centímetres.
Per garantir la congruència de les unitats de mesura emprades segons el Sistema Internacional d'Unitats, les magnituds que no estiguin expressades en SI han de ser convertides segons correspongui. Així, a 10 centímetres equivalen a 0,1 metres, i finalment: dx = 0,1 m.
pas 3
Es calcula la magnitud de el vector gradient de potencial segons correspongui.
referències
- Electricity (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Regne Unit. Recuperat de: britannica.com
- Gradient de potencial (sf). Universitat Nacional Autònoma de Mèxic. Mèxic DF, Mèxic. Recuperat de: profesores.dcb.unam.mx
- Interacció elèctrica. Recuperat de: matematicasypoesia.com.es
- Potential Gradient (sf). Recuperat de: circuitglobe.com
- Relació entre el potencial i el camp elèctric (sf). Institut Tecnològic de Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Recuperat de: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, L'Enciclopèdia Lliure (2018). Gradient. Recuperat de: es.wikipedia.org