- espai mostral
- Esdeveniment o succés
- exemples
- exemple 1
- solució
- solució a
- solució b
- solució c
- solució d
- solució i
- solució f
- referències
Es parla de experiment aleatori quan el resultat de cada assaig particular és impredictible, tot i que es pugui establir la probabilitat d'ocurrència de determinat resultat.
No obstant això, caldria aclarir que no és possible reproduir el mateix resultat d'un sistema aleatori amb els mateixos paràmetres i condicions inicials en cada assaig de l'experiment.
Figura 1. El llançament de daus és un experiment aleatori. Font: Pixabay.
Un bon exemple d'un experiment aleatori és el llançament d'un dau. Tot i que es tingui la cura de llançar el dau de la mateixa manera, en cada intent s'obtindrà un resultat impredictible. Realment, l'únic que es pot afirmar és que el resultat pot ser algun dels següents: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
El llançament d'una moneda, és un altre exemple d'experiment aleatori amb només dos resultats possibles: cara o segell. Tot i que la moneda es llanci des de la mateixa altura i de la mateixa manera, sempre el factor atzar serà present, el que resulta en incertesa a cada nou intent.
El contrari d'un experiment aleatori és un experiment determinista. Per exemple, se sap que cada vegada que es bull aigua a nivell de la mar la temperatura d'ebullició és 100 ºC. Però mai passa que, mantenint les mateixes condicions, el resultat sigui de vegades 90 ºC, 12 més 0ºC i de vegades 100 ºC.
espai mostral
El conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori s'anomena espai mostral. En l'experiment aleatori de el llançament d'un dau, l'espai mostral és:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Per la seva banda, en el llançament d'una moneda l'espai mostral és:
M = {cara, segell}.
Esdeveniment o succés
En un experiment aleatori, un esdeveniment és l'ocurrència o no de cert resultat. Per exemple, en el cas de el llançament d'una moneda, un esdeveniment o succés és que surti cara.
Un altre esdeveniment en un experiment aleatori podria ser el següent: que en el llançament d'un dau surti un nombre menor o igual que tres.
En cas que es doni l'esdeveniment, llavors el conjunt de resultats possibles és el conjunt:
E = {1, 2, 3}
Al seu torn, aquest és un subconjunt de l'espai o conjunt mostral:
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
exemples
A continuació es presenten alguns exemples que il·lustren l'abans dit:
exemple 1
Supose que es llancen dues monedes, una a continuació de l'altra. Es demana:
a) Indicar si es tracta d'un experiment aleatori o per contra un experiment determinista.
b) Quin és l'espai mostral S d'aquest experiment?
c) Indiqueu el conjunt de l'esdeveniment A, corresponent a que l'experiment tingui com a resultat cara i segell.
d) Calculeu la probabilitat que es doni l'esdeveniment A.
e) Finalment, trobi la probabilitat que es doni l'esdeveniment B: no aparèixer cara al resultat.
solució
Una bossa conté 10 bales blanques i 10 bales negres. De la borsa es treuen a l'atzar i sense mirar endins 3 bales consecutivament.
a) Determineu l'espai mostral d'aquest experiment aleatori.
b) Determineu el conjunt de resultats corresponent a l'esdeveniment A que consisteix en que després de l'experiment es tinguin dos bales negres.
c) L'esdeveniment B és obtenir a l'almenys dos bales negres, determini el conjunt B de resultats per aquest succés.
d) Quina és la probabilitat que es doni l'esdeveniment A?
e) Halle la probabilitat que es doni l'esdeveniment B.
f) Determineu la probabilitat que el resultat de l'experiment aleatori sigui que es tingui al menys una bala negra. A aquest esdeveniment se li denominarà C.
Figura 2. Bales blanques i negres per a experiments aleatoris. Font: Needpix.
solució a
Per construir l'espai mostral, és útil confeccionar un diagrama d'arbre, com el que es mostra a la figura 3:
Figura 3. Diagrama d'arbre per l'exemple 2. Elaborat per Fanny Zapata.
El conjunt Ω de possibles resultats d'extreure 3 bales d'una bossa amb el mateix nombre de bales blanques i negres, és precisament l'espai mostral d'aquest experiment aleatori.
Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (a, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}
solució b
El conjunt de possibles resultats corresponent a l'esdeveniment A, que consisteix en tenir dues bales negres és:
A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}
solució c
El succés B es defineix com: «tenir al menys dues boles negres després d'haver fet l'extracció a l'atzar de tres d'elles». El conjunt de resultats possibles per a l'esdeveniment B és:
B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}
solució d
La probabilitat de tenir l'esdeveniment A és el quocient entre el nombre de resultats possibles per a aquest esdeveniment, i el nombre total de possibles resultats, és a dir el nombre d'elements de l'espai mostral.
P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0.375 = 37.5%
Llavors, hi ha 37.5% de probabilitat de tenir dues bales negres després d'extreure a l'atzar 3 bales de la bossa. Però cal observar que de cap manera podem predir el resultat exacte de l'experiment.
solució i
La probabilitat que es doni l'esdeveniment B, consistent en què s'obtingui a l'almenys una bala negra és:
P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0.5 = 50%
Això vol dir que la possibilitat que es doni l'esdeveniment B, és igual a la probabilitat que no es doni.
solució f
La probabilitat d'obtenir al menys una bala negra, després d'extreure tres d'elles, és igual a 1 menys la probabilitat que el resultat sigui «les tres bales blanques».
P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%
Ara, podem comprovar aquest resultat, notant que el nombre de possibilitats que es doni l'esdeveniment C és igual a el nombre d'elements dels possibles resultats per a l'esdeveniment C:
C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (a, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}
n (C) = 7
P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87.5%
referències
- CanalPhi. Experiment aleatori. Recuperat de: youtube.com.
- MateMovil. Experiment aleatori. Recuperat de: youtube.com
- Pishro Nick H. Introduction to probability. Recuperat de: probabilitycourse.com
- Ross. Probabilitat i estadística per a enginyers. Mc-Graw Hill.
- Wikipedia. Experiment (probability theory). recuperat de: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Succés determinista. Recuperat de: és. wikipedia.com
- Wikipedia. Experiment aleatori. Recuperat de: es.wikipedia.com