ESDEVENIMENTS INDEPENDENTS: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLES, EXERCICIS - DUDAS - 2025

Dos esdeveniments són independents, quan la probabilitat que succeeixi un d'ells, no està influenciada pel fet que l'altre passi -o no ocurra-, considerant que aquests esdeveniments tenen lloc a l'atzar.

Aquesta circumstància es dóna sempre que el procés que genera el resultat de l'esdeveniment 1, no alteri de cap manera la probabilitat dels possibles resultats de l'esdeveniment 2. Però si no succeeix així, es diu que els esdeveniments són dependents.

Figura 1. Les bales de colors es fan servir freqüentment per explicar la probabilitat d'esdeveniments independents. Font: Pixabay.

Una situació d'esdeveniments independents és la següent: suposi que es llancen dos daus de sis cares, un de blau i l'altre rosat. La probabilitat que surti un 1 en el dau blau, és independent de la probabilitat que surti 1 gen -o no salga- en el dau rosat.

Un altre cas de dos esdeveniments independents és el de llançar una moneda dues vegades seguides. El resultat del primer llançament no dependrà de l'resultat del segon i viceversa.

Demostració de dos esdeveniments independents

Per comprovar que dos esdeveniments són independents, passarem a definir el concepte de probabilitat condicionada d'un esdeveniment respecte d'un altre. Per això cal diferenciar entre esdeveniments excloents i esdeveniments inclusius:

Dos esdeveniments són excloents si els possibles valors o elements de l'esdeveniment A, no tenen res en comú amb els valors o elements de l'esdeveniment B.

Per tant en dos esdeveniments excloents, el conjunt de la intersecció d'A amb B és el buit:

Esdeveniments excloents: A∩B = Ø

Per contra, si els esdeveniments són incloents, pot passar que un resultat de l'esdeveniment A també coincideix amb el d'un altre B, essent A i B esdeveniments diferents. En aquest cas:

Esdeveniments incloents: A∩B ≠ Ø

Això ens porta a definir la probabilitat condicionada de dos esdeveniments incloents, en altres paraules, la probabilitat d'ocurrència d'l'esdeveniment A, sempre que passi l'esdeveniment B:

P (A|B) = P (A∩B) / P (B)

Per tant, la probabilitat condicionada és la probabilitat que ocorri A i B dividida entre la probabilitat que ocorri B. També es pot definir la probabilitat que ocorri B condicionada a A:

P (B|A) = P (A∩B) / P (A)

Criteris per a conèixer si dos esdeveniments són independents

A continuació donarem tres criteris per saber si dos esdeveniments són independents. N'hi ha prou que es compleixi un dels tres, perquè la independència d'esdeveniments quedi demostrada.

1.- Si la probabilitat que passi A sempre que passi B és igual a la probabilitat de A, llavors es tracta d'esdeveniments independents:

P (A|B) = P (A) => A és independent de B

2.- Si la probabilitat que ocorri B donat A, és igual a la probabilitat de B, llavors es tenen esdeveniments independents:

P (B|A) = P (B) => B és independent d'A

3.- Si la probabilitat que ocorri A i B, és igual a el producte de la probabilitat que ocorri A per la probabilitat que ocorri B, llavors es tracta d'esdeveniments independents. El recíproc també és cert.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A i B són esdeveniments independents.

Exemples d'esdeveniments independents

Es comparen les soles de goma produïdes per dos proveïdors diferents. Les mostres de cada fabricant es sotmeten a diversos assajos a partir dels quals es conclouen si estan o no dins de les especificacions.

Figura 2. Varietat de soles de goma. Font: Pixabay.

El resum resultant de les 252 mostres és el següent:

Fabricant 1; 160 si compleixen especificacions; 8 no compleixen especificacions.

Fabricant 2; 80 si compleixen especificacions; 4 no compleixen especificacions.

Esdeveniment A: "que la mostra sigui de fabricant 1".

Esdeveniment B: "que la mostra compleixi les especificacions".

Es desitja saber si aquests esdeveniments A i B són o no són independents, per a això apliquem un dels tres criteris esmentats a l'apartat anterior.

Criteri: P (B|A) = P (B) => B és independent d'A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B|A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusió: Els esdeveniments A i B són independents.

Suposem un esdeveniment C: "que la mostra provingui de l'fabricant 2"

Serà l'esdeveniment B independent de l'esdeveniment C?

Apliquem un dels criteris.

Criteri: P (B|C) = P (B) => B és independent de C

P (B|C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Per tant, d'acord a les dades disponibles, la probabilitat que una sola de goma triada a l'atzar compleixi les especificacions, és independent de fabricant.

Convertir un esdeveniment independent en un depenent

Vegem el següent exemple per distingir entre esdeveniments dependents i independents.

Tenim una bossa amb dues boles de xocolata blanques i dues boles negres. La probabilitat de treure una bola blanca o una negra és igual en el primer intent.

Suposem que el resultat va ser bola blanca. Si la bola extreta es reposa en la borsa, la situació original es repeteix: dues boles blanques i dues boles negres.

De manera que en un segon esdeveniment o extracció, les possibilitats de treure una bola blanca o una bola negra són idèntiques a les de la primera vegada. Es tracta doncs d'esdeveniments independents.

Però si no es reposa la bola blanca extreta en el primer esdeveniment perquè ens l'hem menjat, en la segona extracció hi ha més possibilitats de treure una bola negra. La probabilitat que en una segona extracció s'obtingui novament blanca, és diferent a la del primer esdeveniment i està condicionada pel resultat anterior.

exercicis

- Exercici 1

En una caixa posem a les 10 bales de la figura 1, de les quals 2 són verdes, 4 blaves i 4 blanques. Es van a escollir dues bales a l'atzar, una primer i una altra després. Es demana trobar la

probabilitat que cap d'elles sigui blau, sota les següents condicions:

a) Amb reemplaçament, és a dir, tornant a la caixa la primera bala abans de la segona selecció. Indicar si es tracta d'esdeveniments independents o dependents.

b) Sense reemplaçament, de tal manera que la primera bala extreta, queda fora de la caixa a l'hora de fer la segona selecció. De la mateixa manera, assenyalar si són esdeveniments dependents o independents.

solució a

Calculem la probabilitat que la primera bala extreta no sigui blau, la qual és 1 menys la probabilitat que sí sigui blau P (A), o bé directament que no sigui blau, perquè va sortir verda o blanca:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (no sigui blau) = 1 - (2/5) = 3/5

O bé:

P (verda o blanca) = 6/10 = 3/5.

Si es torna la bala extreta, tot torna a estar com abans. En aquesta segona extracció també hi ha 3/5 de probabilitat que la bala extreta no sigui blau.

P (no blau, no blau) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Els esdeveniments són independents, ja que la bala extreta es va tornar a la caixa i el primer esdeveniment no influeix en la probabilitat d'ocurrència d'el segon.

solució b

Per a la primera extracció, es procedeix igual que en l'apartat anterior. La probabilitat que no sigui blau és 3/5.

Per a la segona extracció tenim 9 bales a la borsa, ja que la primera no va tornar, però no va ser blau, per tant en la borsa queden 9 bales i 5 no blaus:

P (verda o blanca) = 5/9.

P (cap sigui blau) = P (primera no blau). P (segona no blau / primera no va ser blau) = (3/5). (5/9) = 1/3

En aquest cas no es tracta d'esdeveniments independents, ja que el primer esdeveniment condiciona a el segon.

- Exercici 2

Una botiga disposa de 15 camises en tres mides: 3 petites, 6 mitjanes i 6 grans. Es seleccionen a l'atzar 2 camises.

a) Quina probabilitat hi ha que ambdues camises seleccionades siguin petites, si primer es treu una i sense reemplaçar en el lot es treu una altra?

b) Quina probabilitat hi ha que ambdues camises seleccionades siguin petites, si primer es treu una, es reemplaça en el lot i es treu la segona?

solució a

Aquí hi ha dos esdeveniments:

Esdeveniment A: la primera camisa seleccionada és petita

Esdeveniment B: la segona camisa seleccionada és petita

La probabilitat que es de l'esdeveniment A és: P (A) = 3/15

La probabilitat que es de l'esdeveniment B és: P (B) = 2/14, perquè ja s'havia extret una camisa (queden 14), però a més es vol que es compleixi l'esdeveniment A la primera camisa extreta ha de ser petita i per tant queden 2 petites.

És a dir la probabilitat que es doni A i B serà el producte de les probabilitats és:

P (A i B) = P (B|A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Per tant, la probabilitat que es de l'esdeveniment A i B és igual a el producte que es de l'esdeveniment A, per la probabilitat que es doni l'esdeveniment B si es va donar l'esdeveniment A.

Ha de notar-se que:

P (B|A) = 2/14

La probabilitat que es doni l'esdeveniment B independentment que es doni o no l'esdeveniment A serà:

P (B) = (2/14) si la primera va ser petita, o P (B) = 3/14 si la primera no va ser petita.

En general es pot concloure el següent:

P (B|A) no és igual a P (B) => B no és independent d'A

solució b

De nou hi ha dos esdeveniments:

Esdeveniment A: la primera camisa seleccionada és petita

Esdeveniment B: la segona camisa seleccionada és petita

P (A) = 3/15

Recordeu que sigui quin sigui el resultat, es reemplaça la camisa extreta de el lot i de nou es treu a l'atzar una camisa. La probabilitat que es de l'esdeveniment B, si es va donar l'esdeveniment A és:

P (B|A) = 3/15

La probabilitat que es donin els esdeveniments A i B serà:

P (A i B) = P (B|A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Cal notar que:

P (B|A) és igual a P (B) => B és independent d'A

- Exercici 3

Penseu dos esdeveniments independents A i B. Se sap que la probabilitat que ocorri el succés A és 0,2 i la probabilitat que ocorri el succés B és 0,3. Quina serà la probabilitat que es produeixin dos successos?

solució 2

A l'saber que els successos són independents, se sap que la probabilitat que tots dos esdeveniments ocorrin és el producte de les probabilitats individuals. És a dir, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Noti que és una probabilitat bastant menor que la probabilitat que cada succés ocorri sense importar el resultat de l'altre. O dit d'una altra manera, molt menor que les probabilitats individuals.

referències

1. Berenson, M. 1985. Estadística per a administració i economia. Interamericana SA 126-127.
2. Institut Monterrey. Probabilitat d'esdeveniments independents. Recuperat de: monterreyinstitute.org
3. Professor d'esmaixades. Successos independents. Recuperat de: youtube.com
4. Superprof. Tipus de successos, esdeveniments dependents. Recuperat de: superprof.es
5. Tutor virtual. Probabilitat. Recuperat de: vitutor.net
6. Wikipedia. Independència (probabilitat). Recuperat de: wikipedia.com