ESPERANÇA MATEMÀTICA: FÓRMULA, PROPIETATS, EXEMPLES, EXERCICI - DUDAS - 2026

La esperança matemàtica o valor esperat de la variable aleatòria X, es denota com E (X) i es defineix com la sumatòria del producte entre la probabilitat que ocorri un esdeveniment aleatori i el valor d'aquest esdeveniment.

En forma matemàtica s'expressa de la següent forma:

Figura 1. L'esperança matemàtica s'utilitza àmpliament en el camp borsari i en les assegurances. Font: Pixabay.

On x _i és el valor de l'esdeveniment i P (x _i) la seva probabilitat d'ocurrència. La sumatòria s'estén sobre tots els valors que admet X. I si aquests són finits, la sumatòria indicada convergeix a el valor E (X), però si la sumatòria no convergeix, llavors simplement la variable no té valor esperat.

Quan es tracta d'una variable contínua x, la variable pot tenir valors infinits i les integrals reemplacen a les sumatòries:

Aquí f (x) representa la funció densitat de probabilitat.

En general, l'esperança matemàtica (que és una mitjana ponderada) no és igual a la mitjana aritmètica o mitjana, llevat que es tracti de distribucions discretes en què cada succés sigui igualment probable. Llavors, i només llavors:

On n és el nombre de valors possibles.

El concepte és molt útil en els mercats financers i les companyies d'assegurances, en els quals sovint es manca de certeses però s'han probabilitats.

Propietats de l'esperança matemàtica

Entre les propietats més importants de l'esperança matemàtica destaquen les següents:

- Signe: si X és positiva, llavors E (X) també ho serà.

- Valor esperat d'una constant: el valor esperat d'una constant real k és la constant.

- Linealitat en la suma: l'esperança d'una variable aleatòria que és al seu torn la suma de dues variables X i Y és la suma de les esperances.

E (X + Y) = E (X) + E (I)

- Multiplicació per una constant: si la variable aleatòria és de la forma KX, on k és una constant (un nombre real), aquest surt fora de la valor esperat.

- Valor esperat del producte i independència entre variables: si una variable aleatòria és el producte de les variables aleatòries X i Y, les quals són independents, llavors el valor esperat del producte és el producte dels valors esperats.

En general, si I = g (X):

- Ordre al valor esperat: si X ≤ I, aleshores:

Atès que existeixen els valors esperats de cadascuna d'elles.

L'esperança matemàtica en les apostes

Quan el famós astrònom Christian Huygens (1629-1695) no estava observant el cel, es dedicava a estudiar, entre altres disciplines, la probabilitat en els jocs d'atzar. Va ser ell qui va introduir el concepte d'esperança matemàtica en la seva obra de 1656 titulada: Raonaments sobre els jocs d'atzar.

Figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) va ser un científic brillant i versàtil, a qui devem el concepte de valor esperat.

Huygens va trobar que les apostes es podien classificar de tres formes, segons el valor esperat:

-Jocs amb avantatge: E (X)> 0

-Apuestas justes: E (X) = 0

-Joc en desavantatge: E (X) <0

El problema és que en un joc d'atzar l'esperança matemàtica no sempre és fàcil de calcular. I quan es pot el resultat de vegades és decebedor per a qui es pregunta si ha o no apostar.

Fem un intent amb una aposta simple: cara o creu i el que perd paga un cafè d'1 $. Quin és el valor esperat d'aquesta aposta?

Bé, la probabilitat que surti cara és ½, igual que surti una creu. La variable aleatòria és guanyar 1 $ o perdre 1 $, el guany es denota amb signe + i la pèrdua amb signe -.

Organitzem la informació en una taula:

Multipliquem els valors de les columnes: 1. ½ = ½ i (-1). ½ = -½ i finalment se sumen els resultats. La suma és 0 i es tracta d'un joc just, en el qual s'espera que els participants ni guanyin ni perdin.

La ruleta francesa i la loteria són jocs amb desavantatge en els quals la majoria dels apostadors perd. Més endavant hi ha una aposta una mica més complexa en la secció d'exercicis resolts.

exemples

A continuació alguns exemples senzills on el concepte d'esperança matemàtica és intuïtiu i clarifica el concepte:

exemple 1

Començarem llançant un dau honest. Quin és el valor esperat de l'llançament? Bé, si el dau és honest i té 6 cares, la probabilitat que qualsevol valor (X = 1, 2, 3… 6) surti és 1/6, així:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

Figura 3. En el llançament d'un dau honest, el valor esperat no és un valor possible. Font: Pixabay.

El valor esperat en aquest cas és igual a la mitjana, ja que cada cara té la mateixa probabilitat de sortir. Però E (X) no és un valor possible, ja que cap cara val 3.5. Això és perfectament possible en algunes distribucions, encara que en aquest cas el resultat no ajuda molt a l'apostador.

Vegem un altre exemple amb el llançament de dues monedes.

exemple 2

Es llancen a l'aire dues monedes honrades i definim la variable aleatòria X com el nombre de cares que s'obtenen. Els esdeveniments que poden ocórrer són els següents:

-Cap cara surt: 0 cares que és igual a 2 creus.

-Surt 1 cara i 1 segell o creu.

-Salen 2 cares.

Sigui C una cara i T un segell, l'espai mostral que descriu aquests esdeveniments és el següent:

S _m = {Segell-Segell; Segell-Cara; Cara-Segell; Cara-Cara} = {TT, TC, CT, CC}

Les probabilitats que els esdeveniments succeeixin són:

P (X = 0) = P (T).P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T).P (C) + P (C).P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C).P (C) = ½. ½ = ¼

Es construeix la taula amb els valors obtinguts:

D'acord a la definició donada a el principi, l'esperança matemàtica es calcula com:

Substituint valors:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Aquest resultat s'interpreta de la següent manera: si una persona té prou temps com per fer una gran quantitat d'experiments llançant les dues monedes, s'espera que obtingui una cara en cada llançament.

No obstant això, sabem que els llançaments en els que surtin 2 segells són perfectament possibles.

exercici resolt

En el llançament de dues monedes honestes es fa la següent aposta: si surten 2 cares es guanyen 3 $, si surt 1 cara es guanya 1 $, però si surten dos segells cal pagar 5 $. Calcular el guany esperat de l'aposta.

Figura 4. Segons l'aposta, l'esperança matemàtica canvia a l'llançar dues monedes honestes. Font: Pixabay.

solució

La variable aleatòria X són els valors que pren els diners en l'aposta i les probabilitats es van calcular en l'exemple previ, per tant la taula de l'aposta és:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Com el valor esperat és 0, es tracta d'un joc just, llavors aquí s'espera que l'apostador no guanyi i tampoc perdi. No obstant això, les sumes de les apostes podrien canviar-se per transformar l'aposta en un joc amb avantatge o en un joc amb desavantatge.

referències

1. Brase, C. 2009. Understandable Statistics. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introducció a l'concepte de valor esperat o esperança matemàtica d'una variable aleatòria. Recuperat de: personal.us.es.
3. Statistics LibreTexts. Expected Value of Discrete Random Variables. Recuperat de: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11th. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per a Ciències i Enginyeria. 8va. Edició. Pearson Educació.