El error estàndard d'estimació mesura la desviació en una mostra valor poblacional. És a dir, l'error estàndard d'estimació mesura les possibles variacions de la mitjana mostral pel que fa a l'autèntic valor de la mitjana poblacional.
Per exemple, si es desitja conèixer l'edat mitjana de la població d'un país (mitjana poblacional) es pren un petit grup d'habitants, als que anomenarem «mostra». D'ella s'extreu l'edat mitjana (mitjana mostral) i s'assumeix que la població té gran mitjana amb un error estàndard d'estimació que varia més o menys.
MW Toews
Caldria ressenyar que és important no confondre la desviació estàndard amb l'error estàndard i amb l'error estàndard d'estimació:
1- La desviació estàndard és una mesura de la dispersió de les dades; és a dir, és una mesura de la variabilitat de la població.
2- L'error estàndard és una mesura de la variabilitat de la mostra, calculada sobre la base de la desviació estàndard de la població.
3- L'error estàndard d'estimació és una mesura de l'error que es comet a l'prendre la mitjana mostral com a estimació de la mitjana poblacional.
Com es calcula?
L'error estàndard d'estimació es pot calcular per a totes les mesures que s'obtenen en les mostres (per exemple, error estàndard d'estimació de la mitjana o error estàndard d'estimació de la desviació estàndard) i mesura l'error que es comet a l'estimar la veritable mesura poblacional a partir del seu valor mostral
A partir d'l'error estàndard d'estimació es construeix l'interval de confiança de la mesura corresponent.
L'estructura general d'una fórmula per l'error estàndard d'estimació és la següent:
Error estàndard d'estimació = ± Coeficient de confiança * Error estàndard
Coeficient de confiança = valor límit d'un estadístic mostral o distribució de mostreig (normal o campana de Gauss, t de Student, entre d'altres) per a un determinat interval de probabilitats.
Error estàndard = desviació estàndard de la població dividida per l'arrel quadrada de la mida de la mostra.
El coeficient de confiança indica la quantitat d'errors estàndard que està disposat a sumar i restar a la mesura per tenir un cert nivell de confiança en els resultats.
Exemples de càlcul
Suposeu que està tractant d'estimar la proporció de persones a la població que tenen una conducta A, i es desitja tenir un 95% de confiança en els seus resultats.
Es pren una mostra de n persones i es determina la proporció mostral p i el seu complement q.
Error estàndard d'estimació (EEE) = ± Coeficient de confiança * Error estàndard
Coeficient de confiança = z = 1.96.
Error estàndard = l'arrel quadrada de la raó entre el producte de la proporció mostral per la seva complement i la mida de la mostra n.
A partir d'l'error estàndard d'estimació s'estableix l'interval en el qual s'espera es trobi la proporció poblacional o la proporció mostral d'altres mostres que es puguin formar d'aquesta població, amb un 95% de nivell de confiança:
p - EEE ≤ Proporció de població era ≤ p + EEE
exercicis resolts
exercici 1
1- Suposeu que està tractant d'estimar la proporció de persones a la població que tenen preferència per una fórmula làctia enriquida, i es desitja tenir un 95% de confiança en els seus resultats.
Es pren una mostra de 800 persones i es determina que 560 persones en la mostra té preferència per la fórmula làctia enriquida. Determineu un interval en el qual es pugui esperar es trobi la proporció poblacional i la proporció d'altres mostres que es puguin prendre de la població, amb un 95% de confiança
a) Calculem la proporció mostral p i el seu complement:
p = 560/800 = 0.70
q = 1 - p = 1 - 0.70 = 0.30
b) Es coneix que la proporció s'aproxima a una distribució normal a mostres de mida gran (majors a 30). Llavors, s'aplica l'anomenada regla 68 - 95 - 99.7 i s'ha de:
Coeficient de confiança = z = 1.96
Error estàndard = √ (p * q / n)
Error estàndard d'estimació (EEE) = ± (1.96) * √ (0.70) * (0.30) / 800) = ± 0,0318
c) A partir d'l'error estàndard d'estimació s'estableix l'interval en el qual s'espera es trobi la proporció poblacional amb un 95% de nivell de confiança:
0.70 - 0,0318 ≤ Proporció de població era ≤ 0.70 + 0,0318
0,6682 ≤ Proporció poblacional ≤ 0,7318
Es pot esperar que la proporció de mostra de l'70% canviï fins a 3.18 punts percentuals si pren una mostra diferent de 800 individus o que la proporció real de la població està entre 70 - 3.18 = 66.82% i 70 + 3.18 = 73.18%.
exercici 2
2- Prendrem de Spiegel i Stephens, 2008, el següent cas estudi:
De el total de qualificacions de matemàtiques dels alumnes de primer any d'una universitat es va prendre una mostra aleatòria de 50 qualificacions en què la mitjana trobada va ser 75 punts i la desviació estàndard, 10 punts. Quins són els límits de confiança del 95% per a l'estimació de la mitjana de les qualificacions de matemàtica de la universitat?
a) Calculem l'error estàndard d'estimació:
Coeficient de confiança de l'95% = z = 1.96
Error estàndard = s / √n
Error estàndard d'estimació (EEE) = ± (1.96) * (10√50) = ± 2.7718
b) A partir d'l'error estàndard d'estimació s'estableix l'interval en el qual s'espera es trobi la mitjana poblacional o la mitjana d'una altra mostra de mida 50, amb un 95% de nivell de confiança:
50 - 2.7718 ≤ Mitjana poblacional ≤ 50 + 2.7718
47.2282 ≤ Mitjana poblacional ≤ 52.7718
c) Es pot esperar que la mitjana de la mostra canviï fins a 2.7718 punts si es pren una mostra diferent de 50 qualificacions o que la mitjana real de les qualificacions de matemàtica de la població de la universitat està entre 47.2282 punts i 52.7718 punts.
referències
- Abraira, V. (2002). Desviació estàndard i error estàndard. Revista Semergen. Recuperat de web.archive.org.
- Rumsey, D. (2007). Intermediate statistics for dummies. Wiley Publishing, Inc.
- Salinas, H. (2010). Estadística i probabilitats. Recuperat de mat.uda.cl.
- Sokal, R.; Rohlf, F. (2000). Biometry. The principles and practice of statistics in biological research. Third ed. Blume Edicions.
- Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estadística. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de Mèxic SA
- Wikipedia. (2019). 68-95-99.7 rule. Recuperat de en.wikipedia.org.
- Wikipedia. (2019). Standard error. Recuperat de en.wikipedia.org.