ERROR DE MOSTREIG: FÓRMULES I EQUACIONS, CÀLCUL, EXEMPLES - DUDAS - 2026

El error de mostreig o error mostral en estadística, és la diferència que hi ha entre el valor mitjà d'una mostra respecte a el valor mitjà de la població total. Per il·lustrar la idea, imaginem que la població total d'una ciutat és d'un milió de persones, de la qual es vol la seva talla mitjana de sabates, per a això es pren una mostra a l'atzar de mil persones.

La talla mitjana que sorgeix de la mostra no necessàriament coincidirà amb la de la població total, encara que si la mostra no és esbiaixada el valor ha de ser proper. Aquesta diferència entre el valor mitjà de la mostra i el de la població total és l'error mostral.

Figura 1. Com la mostra és un subconjunt de la població total, la mitjana de la mostra té un marge d'error. Font: F. Zapata.

En general es desconeix el valor mitjà de la població total, però hi ha tècniques per disminuir l'error i fórmules per estimar el marge d'error mostral que s'exposaran en aquest article.

Fórmules i equacions

Posem per cas, que es vol conèixer el valor mitjà de determinada característica mesurable x en una població de mida N, però com N és un nombre gran no és viable fer l'estudi sobre la població total, llavors es procedeix a prendre una mostra aleatòria de grandària n <

El valor mitjà de la mostra ho denotem per i el valor mitjà de la població total ho denotem per la lletra grega μ (es llegeix mu o miu).

Suposem que es prenen m mostres de la població total N, totes de la mateixa mida n amb valors mitjans 1>, 2>, 3>,….m>.

Aquests valors mitjans no seran idèntics entre si i estaran tots al voltant de el valor mitjà poblacional μ. El marge d'error mostral I indica la separació esperada dels valors mitjans respecte de el valor mitjà poblacional μ dins d'un percentatge especificat anomenat el nivell de confiança γ (gamma).

El marge d'error estàndard ε de la mostra de grandària n és:

ε = σ / √n

on σ és la desviació estàndard (l'arrel quadrada de la variància), la qual es calcula mitjançant la fórmula següent:

σ = √

El significat de l'marge d'error estàndard ε és el següent:

El valor mitjà obtingut mitjançant la mostra de grandària n està comprès en l'interval ( - ε, + Ε) amb un nivell de confiança de el 68,3%.

Com calcular l'error de mostreig

A la secció prèvia es va donar la fórmula per trobar el marge d'error estàndard d'una mostra de mida n, on la paraula estàndard indica que es tracta d'un marge d'error amb el 68% de confiança.

Això indica que si es prenguessin moltes mostres de la mateixa mida n, el 68% d'elles donaran valors mitjans en el rang.

Hi ha una regla senzilla, anomenada la regla 68-95-99.7 que ens permet trobar el marge d'error mostral E per nivells de confiança de l'68%, 95% i 99,7% fàcilment, ja que aquest marge és 1⋅ ε, 2 ⋅ ε i 3⋅ ε respectivament.

Per a un nivell de confiança

Si el nivell de confiança γ no és algun dels anteriors, llavors l'error de mostreig és la desviació estàndard σ multiplicada pel factor Zγ, el qual s'obté mitjançant el següent procediment:

1.- Primer es determina el nivell de significació α el qual es calcula a partir de l'nivell de confiança γ mitjançant la següent relació: α = 1 - γ

2.- Després cal calcular el valor 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, que correspon a la freqüència normal acumulada entre -∞ i Zγ, en una distribució normal o gaussiana tipificada F (z), la definició es pot veure a la figura 2.

3.- Es resol l'equació F (Zγ) = 1 - α / 2 per mitjà de les taules de la distribució normal (acumulada) F, o mitjançant una aplicació informàtica que disposi de la funció gaussiana tipificada inversa F ^-1.

En aquest últim cas es té:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Finalment, s'aplica aquesta fórmula per l'error de mostreig amb un nivell de fiabilitat γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Figura 2. Taula de la distribució normal. Font: Wikimedia Commons.

exemples

- Exemple 1

Calcular el marge d'error estàndard en el pes mitjà d'una mostra de 100 nadons. El càlcul de l'pes mitjana va ser= 3,100 kg amb una desviació estàndard σ = 1,500 kg.

solució

El marge d'error estàndard és ε = σ / √n = (1,500 kg) / √100 = 0,15 kg. El que vol dir que amb aquestes dades es pot inferir que el pes de l'68% dels nounats està comprès entre 2,950 kg i 3.25 kg.

- Exemple 2

Determineu el marge d'error mostral E i el rang de pes de 100 nadons amb un nivell de confiança de l'95% si el pes mitjà és de 3,100 kg amb desviació estàndard σ = 1,500 kg.

solució

Si s'aplica la regla 68; 95; 99.7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, es té:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

És a dir que el 95% dels nounats tindran pesos compresos entre 2,800 kg i 3,400 kg.

- Exemple 3

Determineu el rang de pesos dels nounats de l'exemple 1 amb un marge de confiança de 99,7%.

solució

L'error mostral amb un 99,7% de confiança es 3 σ / √n, que per al nostre exemple és E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. D'aquí s'infereix que el 99,7% dels nounats tindran pesos compresos entre 2,650 kg i 3,550 kg.

- Exemple 4

Determinar el factor Zγ per a un nivell de fiabilitat del 75%. Determineu el marge d'error de mostreig amb aquest nivell de fiabilitat per al cas plantejat a l'exemple 1.

solució

El nivell de confiança és γ = 75% = 0,75 que es relaciona amb el nivell de significació α mitjançant la relació γ = (1 - α), de manera que el nivell de significació és α = 1 - 0,75 = 0, 25.

Això vol dir que la probabilitat normal acumulada entre -∞ i Zγ és:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

El que es correspon amb un valor Zγ de 1,1503, tal com es mostra a la figura 3.

Figura 3. Determinació de l'factor Zγ corresponent a un nivell de confiança del 75%. Font: F. Zapata mitjançant Geogebra.

És a dir que l'error de mostreig és E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Quan s'aplica a les dades de l'exemple 1, dóna un error de:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Amb un nivell de confiança de 75%.

- Exercici 5

Quin és el nivell de confiança si Z _{α / 2} = 2.4?

solució

P (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

El nivell de significació és:

α = 0,0164 = 1,64%

I finalment, el nivell de confiança queda:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

referències

1. Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
2. Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Estadística per a Administradors. 2dóna. Edició. Prentice Hall.
4. Sudman, S.1982. Asking Questions: A Practical Guide to Questionnaire Design. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.
6. Wonnacott, TH and RJ Wonnacott. 1990. Introductory Statistics. 5th Ed. Wiley
7. Wikipedia. Sampling error. Recuperat de: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Margin of error. Recuperat de: en.wikipedia.com