- Fórmules i equacions
- Característiques de l'energia gravitatòria
- Camp i potencial gravitatori
- aplicacions
- Potencial gravitacional de la Terra
- Energia potencial prop de la superfície terrestre
- exercicis
- Exercici 1: Col·lapse gravitacional de la Terra
- solució
- Exercici 2: Col·lapse gravitacional i velocitat d'escapament
- solució 2
- Exercici 3: Energia gravitacional de la poma
- solució
- referències
La energia gravitacional és la que té un objecte massiu quan està immers en el camp gravitacional produït per un altre. Alguns exemples d'objectes amb energia gravitacional són: la poma a l'arbre, la poma caient, la Lluna orbitant la Terra i la Terra orbitant el Sol.
Isaac Newton (1642-1727) va ser el primer a adonar-se que la gravetat és un fenomen universal i que tot objecte amb massa produeix en el seu entorn un camp capaç de produir una força sobre un altre.
Figura 1. La Lluna orbitant la Terra té energia gravitacional. Font: Pixabay
Fórmules i equacions
La força a la qual es referia Newton es coneix com a força gravitacional i li proporciona energia a l'objecte sobre el qual actua. Newton va formular la llei de gravitació universal de la següent manera:
"Siguin dos objectes puntuals de masses m1 i m2 respectivament, cadascun exerceix sobre l'altre una força d'atracció que és proporcional a l'producte de les seves masses i inversament proporcional a el quadrat de la distància que els separa".
L'energia gravitacional U associada a la força gravitacional F és:
Un objecte que està immers en un camp gravitacional té energia potencial gravitacional U i energia cinètica K. Si no hi ha altres interaccions, o són d'intensitat menyspreable, l'energia total E d'aquest objecte és la suma de la seva energia gravitacional més la seva energia cinètica:
E = K + U
Si un objecte està en un camp gravitatori i no estan presents altres forces de tipus dissipatiu, com la fricció o la resistència a l'aire, llavors l'energia total E és una quantitat que es manté constant durant el moviment.
Característiques de l'energia gravitatòria
- Un objecte té energia potencial gravitatòria si només està en la presència de camp gravitacional produït per un altre.
- L'energia gravitatòria entre dos objectes creix en la mesura que la distància de separació entre els mateixos és més gran.
- El treball realitzat per la força gravitatòria és igual i contrari a la variació de l'energia gravitacional de la posició final respecte a la de la seva posició inicial.
- Si un cos està sotmès únicament a l'acció de la gravetat, llavors la variació de la seva energia gravitatòria és igual i contrària a la variació de la seva energia cinètica.
- L'energia potencial d'un objecte de massa m que es troba a una altura h respecte a la superfície terrestre és mgh vegades més gran que l'energia potencial en la superfície, sent g l'acceleració de gravetat, per a altures h molt menors que el radi terrestre.
Camp i potencial gravitatori
El camp gravitatori g es defineix com la força gravitacional F per unitat de massa. Es determina col·locant una partícula de prova m en cada punt de l'espai i calculant el quocient entre la força que actua sobre la partícula de prova dividida entre el valor de la seva massa:
g = F / m
Es defineix el potencial gravitatori V d'un objecte de massa m com l'energia potencial gravitacional d'aquest objecte dividida entre la seva pròpia massa.
L'avantatge d'aquesta definició és que el potencial gravitatori només depèn de el camp gravitatori, de manera que un cop conegut el potencial V, l'energia gravitacional U d'un objecte de massa m és:
O = mV
Figura 2. Camp gravitatori (línies contínues) i equi-potencials (línia segmentada) per al sistema Terra - Lluna. Font: WT Scott, Am. J. Phys. 33, (1965).
aplicacions
L'energia potencial gravitatòria és la que emmagatzemen els cossos quan estan en un camp gravitacional.
Per exemple, l'aigua continguda en un tanc té més energia en la mesura que el tanc està a major altura.
A major altura de l'tanc, major serà la velocitat de sortida de l'aigua per l'aixeta. Això és a causa que l'energia potencial d'l'aigua a l'altura de l'tanc es transforma en energia cinètica de l'aigua a la sortida de l'aixeta.
Quan l'aigua es represa a la part alta d'una muntanya, aquesta energia potencial pot ser aprofitada per fer girar les turbines de generació elèctrica.
L'energia gravitacional també explica les marees. Com l'energia i la força gravitacional depenen de la distància, l'estirada gravitacional de la Lluna és més gran a la cara de la Terra més propera a la Lluna que la cara més llunyana i oposada.
Això produeix una diferència de forces que deforma la superfície de la mar. L'efecte és més gran en lluna nova, quan el Sol i la Lluna estan alineats.
La possibilitat de construir estacions espacials i satèl·lits que es mantinguin relativament propers al nostre planeta, és deguda a energia gravitacional que produeix la Terra. Si no és així les estacions espacials i els satèl·lits artificials quedarien vagant per l'espai.
Potencial gravitacional de la Terra
Suposeu que la Terra té massa M i un objecte que està per sobre de la superfície terrestre a la distància r respecte a centre de la mateixa té massa m.
En aquest cas el potencial gravitacional es determina a partir de l'energia gravitatòria simplement dividint entre la massa de l'objecte resultant:
Energia potencial prop de la superfície terrestre
Suposem que la Terra té radi R T i massa M.
Tot i que la Terra no és un objecte puntual el camp sobre la seva superfície és equivalent a què s'obtindria si tota la seva massa M estigués concentrada al centre, de manera que l'energia gravitatòria d'un objecte a altura h sobre la superfície terrestre és
O (R T + h) = -GM m (R T + h) ^ - 1
Però com que h és molt menor que R T, l'expressió anterior es pot aproximar per
O = Uo + mgh
On g és l'acceleració de gravetat, el valor mitjà per a la Terra és 9.81 m / s ^ 2.
Llavors l'energia potencial Ep d'un objecte de massa ma l'altura h sobre la superfície terrestre és:
Ep (h) = O + Uo = mgh
Sobre la superfície terrestre h = 0, de manera que un objecte sobre la superfície té Ep = 0. Els càlculs detallats es poden veure a la figura 3.
Figura 3. Energia potencial gravitacional a una alçada h sobre la superfície. Font: elaborat per F. Zapata.
exercicis
Exercici 1: Col·lapse gravitacional de la Terra
Supose que el nostre planeta pateix un col·lapse gravitacional per pèrdua d'energia tèrmica en el seu interior i el seu radi decau fins a la meitat de la valor actual però es manté constant la massa de la planeta.
Determineu quin seria l'acceleració de gravetat prop de la superfície de la Nova Terra i quant pesaria un supervivent que pesava 50 kg-f abans de l'col·lapse. Augmenta o disminueix l'energia gravitacional de la persona i en quin factor.
solució
L'acceleració de gravetat en la superfície d'un planeta depèn de la seva massa i de la seva ràdio. La constant de gravitació és universal i serveix per igual per planetes i exoplanetes.
En el cas que se'ns planteja, si es redueix el radi de la Terra a la meitat llavors l'acceleració de gravetat de la Nova Terra seria 4 vegades més gran. Els detalls es poden veure a la pissarra següent.
Això significa que un superhome i supervivent que en el vell planeta pesava 50 kg-f pesarà 200 kg-f en el nou planeta.
D'altra banda, l'energia gravitacional s'haurà reduït a la meitat en la superfície de el nou planeta.
Exercici 2: Col·lapse gravitacional i velocitat d'escapament
En referència a la situació plantejada a l'exercici 1, què passaria amb la velocitat d'escapament: augmenta, disminueix, en quin factor?
solució 2
La velocitat d'escapament és la velocitat mínima necessària per escapar de l'atracció gravitacional d'un planeta.
Per calcular-la es suposa que un projectil que es dispara amb aquesta velocitat arriba a l'infinit amb velocitat zero. A més, en l'infinit l'energia gravitacional és nul·la. Per tant un projectil que es dispari amb la velocitat d'escapament tindrà energia total zero.
És a dir que en la superfície de la planeta a l'hora de el tret la suma de l'energia cinètica de l'projectil + l'energia gravitacional ha de ser nul·la:
½ m Veu ^ 2 - (G Mm) / R T = 0
Noti que la velocitat d'escapament no depèn de la massa de l'projectil i el seu valor a l'quadrat és
Veu ^ 2 = (2G M) / R T
Si el planeta col·lapsa fins a un radi meitat de l'original el quadrat de la nova velocitat d'escapament passa a ser el doble.
Per tant la nova velocitat d'escapament creix i passa a ser 1.41 vegades la vella velocitat d'escapament:
Veu '= 1.41 Veu
Exercici 3: Energia gravitacional de la poma
Un noi al balcó d'un edifici a 30 metres de sòl deixa anar una poma de 250 g, que a el cap d'alguns segons arriba a terra.
Figura 4. Mentre cau, l'energia potencial de l'illa es transforma en energia cinètica. Font: PIxabay.
a) Quina és la diferència d'energia gravitacional de la poma a la part alta respecte a la poma a nivell de terra?
b) Què rapidesa tenia la poma just abans escampar a terra?
c) Què passa amb l'energia una vegada que la poma es va aixafar contra el terra?
solució
a) La diferència d'energia gravitacional és
mgh = 0.250 kg * 9.81 m / s ^ 2 * 30 m = 73.6 J
b) L'energia potencial que tenia la poma quan estava a 30 m d'alçada es transforma en energia cinètica per quan la poma arribi a terra.
½ mv ^ 2 = mgh
v ^ 2 = 2.gh
A l'substituir valors i aclarir, es dedueix que la poma arriba a terra amb una rapidesa de 24.3 m / s = 87.3 km / h.
c) Òbviament la poma s'escampa i tota l'energia gravitatòria acumulada a l'començament es perd en forma de calor, ja que els trossos de poma i la zona d'impacte s'escalfen, a més part de l'energia es dissipa també en forma d'ones sonores " splash ".
referències
- Alonso, M. (1970). Física Vol. 1, Fons Educatiu Interamericà.
- Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. 5th. Ed. Pearson.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Sears, F. (2009).Física Universitària Vol. 1
- Wikipedia. Energia gravitatòria. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Gravitational energy. Recuperat de: en.wikipedia.com