DISTRIBUCIÓ HIPERGEOMÉTRICA: FÓRMULES, EQUACIONS, MODEL - DUDAS - 2024

La distribució hipergeométrica és una funció estadística discreta, adequada per a calcular la probabilitat en experiments aleatoris amb dos resultats possibles. La condició que es requereix per aplicar-la és que es tracti de poblacions petites, en les quals les extraccions no es reemplacen i les probabilitats no són constants.

Per tant, quan es tria un element de la població per saber el resultat (veritable o fals) de certa característica, aquest mateix element no pot triar-se de nou.

Figura 1. En una població de cargols com aquesta, segurament hi ha exemplars defectuosos. Font: Pixabay.

Certament, el proper element triat té així major probabilitat d'obtenir un resultat veritable, si l'element anterior va tenir resultat negatiu. Això vol dir que la probabilitat va variant, en la mesura que s'extreuen elements de la mostra.

Les aplicacions principals de la distribució hipergeométrica són: control de qualitat en processos amb poca població i el càlcul de probabilitats en els jocs d'atzar.

Pel que fa a la funció matemàtica que defineix la distribució hipergeométrica, aquesta consta de tres paràmetres, que són:

- Nombre d'elements de població (N)

- Grandària de la mostra (m)

- Quantitat d'esdeveniments en la població completa amb un resultat favorable (o desfavorable) de la característica estudiada (n).

Fórmules i equacions

La fórmula de la distribució hipergeométrica dóna la probabilitat P que x casos favorables de certa característica ocorrin. La manera d'escriure-la matemàticament, en funció dels nombres combinatoris és:

En l'expressió anterior N, nim són paràmetres i x la variable pròpiament dita.

- Població total és N.

-Nombre de resultats positius de certa característica binària respecte de la població total és n.

-Quantitat d'elements de la mostra és m.

En aquest cas, X és una variable aleatòria que pren el valor xi P (x) indica la probabilitat d'ocurrència de x casos favorables de la característica estudiada.

Variables estadístiques importants

Altres variables estadístiques per a la distribució hipergeométrica són:

- Mitjana μ = m * n / N

- Variància σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Desviació típica σ que és l'arrel quadrada de la variància.

Model i propietats

Per arribar a el model de la distribució hipergeométrica, es parteix de la probabilitat d'obtenir x casos favorables en una mostra de mida m. Aquesta mostra conté elements que compleixen amb la propietat en estudi i elements que no.

Recordem que n representa el nombre de casos favorables en la població total de N elements. Llavors la probabilitat es calcularia així:

Expressant l'anterior en forma de nombres combinatoris, s'arriba a el següent model de distribució de probabilitats:

Propietats principals de la distribució hipergeométrica

Són les següents:

- La mostra sempre ha de ser petita, encara que la població sigui gran.

- Els elements de la mostra es van extraient d'un, sense incorporar-los novament a la població.

- La propietat a estudiar és binària, és a dir només pot prendre dos valors: 1 o 0, o bé cert o fals.

A cada pas d'extracció d'elements, la probabilitat canvia depenent dels resultats previs.

Aproximació mitjançant la distribució binomial

Una altra propietat de la distribució hipergeométrica és que es pot aproximar per la distribució binomial, denotada com Bi, sempre que la població N sigui gran i al menys 10 vegades més gran que la mostra m. En aquest cas quedaria així:

La probabilitat que x = 3 cargols de la mostra surtin defectuosos és: P (500, 5, 60; 3) = 0,0129.

Per la seva banda, la probabilitat que x = 4 cargols dels seixanta de la mostra surtin defectuosos és: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Finalment, la probabilitat que x = 5 cargols en aquesta mostra surtin amb defecte és: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Però si es vol saber la probabilitat que en aquesta mostra hi hagi més de 3 cargols defectuosos, llavors cal obtenir la probabilitat acumulada, sumant:

Aquest exemple està il·lustrat a la figura 2, obtinguda mitjançant l'ús del GeoGebra un programari lliure d'ampli ús en escoles, instituts i universitats.

Figura 2. Exemple de distribució hipergeométrica. Elaborat per F. Zapata amb GeoGebra.

exemple 2

Un mall de baralla espanyola té 40 cartes, de les quals 10 tenen or i les restants 30 no el tenen. Suposem que d'aquest mall s'extreuen a l'atzar 7 cartes, les quals no es reincorporen a la baralla.

Si X és el nombre d'ors presents a les 7 cartes extretes, llavors la probabilitat que s'hagin x ors en una extracció de 7 cartes està donat per la distribució hipergeométrica P (40,10,7; x).

Vegem això així: per calcular la probabilitat de tenir 4 ors en una extracció de 7 cartes fem servir la fórmula de la distribució hipergeométrica amb els següents valors:

I el resultat és: 4,57% de probabilitat.

Però si es vol saber la probabilitat d'obtenir més de 4 cartes, llavors caldrà sumar:

exercicis resolts

El següent conjunt d'exercicis té la finalitat d'il·lustrar i assimilar els conceptes que s'han presentat en aquest article. És important que el lector intenti resoldre'ls per compte propi, abans de mirar la solució.

exercici 1

Una fàbrica de profilàctics ha trobat que de cada 1000 preservatius produïts per certa màquina, 5 surten defectuosos. Per efectuar el control de qualitat es prenen a l'atzar 100 condons i el lot es rebutja si hi ha almenys un o més defectuós. respondre:

a) Quina possibilitat hi ha que un lot de 100 sigui descartat?

b) És eficient aquest criteri de control de qualitat?

solució

En aquest cas van a aparèixer nombres combinatoris molt grans. El càlcul es dificulta, llevat que es disposi d'un paquet informàtic adequat.

Però com que es tracta d'una població gran i la mostra és deu vegades menor que la població total, es pot fer ús de l'aproximació de la distribució hipergeométrica per la distribució binomial:

En l'expressió anterior C (100, x) és un nombre combinatori. Llavors la probabilitat de faig més d'un defectuós es calcularà així:

Es tracta d'una excel·lent aproximació, si se li compara amb el valor obtingut a l'aplicar la distribució hipergeométrica: 0,4102

Es pot dir que, amb probabilitat de el 40% un lot de 100 profilàctics haurà de ser descartat, la qual cosa resulta poc eficient.

Però, sent una mica menys exigent en el procés de control de qualitat i desecháramos el lot de 100 només si hi ha dos o més defectuosos, llavors la probabilitat de descartar el lot cauria a tot just 8%.

exercici 2

Una màquina de tacs plàstics funciona de tal manera que de cada 10 peces, un surt deformada. En una mostra de 5 peces que possibilitat cal una sola peça surti defectuosa.

solució

Població: N = 10

Nombre n de defectuoses per cada N: n = 1

Mida de la mostra: m = 5

Per tant hi ha un 50% de probabilitat que en una mostra de 5, un tac surti deforme.

exercici 3

En una reunió de joves batxillers ha 7 dames i 6 cavallers. Entre les noies, 4 estudien humanitats i 3 ciències. En el grup de nois, 1 estudia humanitats i 5 ciències. Calcular el següent:

a) Elegir a l'atzar tres noies: quina probabilitat hi ha que totes estudiïn humanitats ?.

b) Si es trien a l'atzar 3 assistents a la reunió d'amics: Què possibilitat cal tres d'ells, sense importar sexe, estudiïn ciències tots tres, o humanitats també els tres ?.

c) Ara seleccioneu dos amics a l'atzar i truqui xa la variable aleatòria «nombre dels que estudien humanitats». Entre els dos elegits, determini la mitjana o valor esperat de xi la variància σ ^ 2.

solució a

Els valors a utilitzar ara són:

-Població: N = 14

-Quantitat que estudia lletres és: n = 6 i la

-Grandària de la mostra: m = 3.

-Nombre d'amics que estudien humanitats: x

D'acord a això, x = 3 vol dir que els tres estudien humanitats, però x = 0 vol dir que cap estudiant humanitats. La probabilitat que els tres estudiïn el mateix ve donada per la suma:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Després, tenim un 21% de probabilitat que 3 assistents a la reunió, elegits a l'atzar, estudiïn el mateix.

solució c

Aquí tenim els següents valors:

N = 14 població total d'amics, n = 6 nombre total en la població que estudia humanitats, la mida de la mostra és m = 2.

L'esperança és:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

I la variància:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0,4521

referències

1. Distribucions de probabilitat discreta. Recuperat de: biplot.usal.es
2. Estadística i probabilitat. Distribució hipergeométrica. Recuperat de: proyectodescartes.org
3. CDPYE-UGR. Distribució hipergeométrica. Recuperat de: ugr.es
4. Geogebra. Geogebra clàssic, càlcul de probabilitat. Recuperat de geogebra.org
5. Proba fàcil. Exercicis resolts de distribució hipergeométrica. Recuperat de: probafacil.com
6. Minitab. Distribució hipergeométrica. Recuperat de: support.minitab.com
7. Universitat de Vigo. Principals distribucions discretes. Recuperat de: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Estadística i combinatòria. Recuperat de: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. hypergeometric Distribution. Recuperat de: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Distribució hipergeométrica. Recuperat de: es.wikipedia.com