DISTRIBUCIÓ DE POISSON: FÓRMULES, EQUACIONS, MODEL, PROPIETATS - DUDAS - 2024

La distribució de Poisson és una distribució de probabilitats discreta, mitjançant la qual es pot conèixer la probabilitat que, dins d'una mostra de mida gran i durant un cert interval, ocorri un esdeveniment la probabilitat és petita.

Sovint, la distribució de Poisson es pot utilitzar en lloc de la distribució binomial, sempre que es compleixin les següents condicions descrites: mostra gran i probabilitat petita.

Figura 1. Gràfica de la distribució de Poisson per a diferents paràmetres. Font: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) va crear aquesta distribució que porta el seu nom, molt útil quan es tracta de successos impredictibles. Poisson va publicar els seus resultats en 1837, un treball d'investigació sobre la probabilitat d'ocurrència de les sentències penals errònies.

Posteriorment altres investigadors van adaptar la distribució en altres àmbits, per exemple, el nombre d'estrelles que podien trobar-se en un cert volum de l'espai, o la probabilitat que un soldat morís a causa de la guitza d'un cavall.

Fórmula i equacions

La forma matemàtica de la distribució de Poisson és la següent:

- μ (també de vegades denotat com λ) és la mitjana o paràmetre de la distribució

- Nombre d'Euler: i = 2.71828

- La probabilitat d'obtenir i = k és P

- k és el nombre d'èxits 0, 1,2,3…

- n és el nombre de proves o esdeveniments (la mida de la mostra)

Les variables aleatòries discretes, com el seu nom indica, depenen de l'atzar i únicament prenen valors discrets: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

La mitjana de la distribució ve donada per:

La variància σ, que mesura la dispersió de les dades, és un altre paràmetre important. Per a la distribució de Poisson és:

σ = μ

Poisson va determinar que quan n → ∞, i p → 0, la mitjana μ -també anomenada valor esperat - tendeix a una constant:

-Els successos o esdeveniments considerats són independents entre si i ocorren aleatòriament.

-La probabilitat P que cert succés i passi durant un període de temps concret és molt petita: P → 0.

-La probabilitat que ocorri més d'un succés en l'interval de temps és 0.

-El valor mitjà s'aproxima a una constant donada per: μ = np (n és la mida de la mostra)

-Ja que la dispersió σ és igual a μ, a mesura que aquesta adopta valors més grans, la variabilitat també es fa gran.

-Els successos han d'estar distribuïts uniformement en l'interval de temps usat.

-El conjunt de possibles valors de l'esdeveniment i és: 0,1,2,3,4….

-La suma i variables que segueixen una distribució de Poisson, és també una altra variable de Poisson. El seu valor mitjà és la suma dels valors mitjans d'aquestes variables.

Diferències amb la distribució binomial

La distribució de Poisson difereix de la distribució binomial en els següents aspectes importants:

-La distribució binomial és afectada tant per la grandària de la mostra n com per la probabilitat P, però la distribució de Poisson només és afectada per la mitjana μ.

-En una distribució binomial, els possibles valors de la variable aleatòria i són 0,1,2,…, N, en canvi en la distribució de Poisson no hi ha límit superior per a aquests valors.

exemples

Poisson va aplicar inicialment la seva famosa distribució a casos legals, però a nivell industrial, un dels seus primers usos va ser en la fabricació de cervesa. En aquest procés s'utilitzen cultius de llevat per a la fermentació.

El llevat consisteix de cèl·lules vives, la població és variable en el temps. En la fabricació de la cervesa es necessita afegir la quantitat necessària, per això cal conèixer la quantitat de cèl·lules que hi ha per unitat de volum.

Durant la II Guerra Mundial es va utilitzar la distribució de Poisson per saber si els alemanys estaven apuntant realment a Londres des de Calais, o simplement disparant l'atzar. Això era important perquè els aliats determinessin quan bona era la tecnologia de la qual disposaven els nazis.

aplicacions pràctiques

Les aplicacions de la distribució de Poisson es refereixen sempre a recomptes en el temps o recomptes en l'espai. I com que la probabilitat d'ocurrència és petita, també se la coneix com "llei dels successos rars".

Heus aquí un llistat d'activitats que cauen en alguna d'aquestes categories:

-Registre de les partícules en un decaïment radioactiu, que a l'igual que el creixement de cèl·lules de llevat, és una funció exponencial.

-Nombre de visites a una determinada web.

-Arribada de persones a una fila per pagar o ser atesos (teoria de les cues).

-Quantitat d'autos que passen per un cert punt d'una carretera, durant un interval de temps donat.

Figura 2. La quantitat de cotxes que passen per un punt segueix aproximadament una distribució de Poisson. Font: Pixabay.

-Mutaciones sofertes en una determinada cadena d'ADN després de rebre una exposició a la radiació.

-Nombre de meteorits de diàmetre major a 1 m caiguts en un any.

-Defectos per metre quadrat d'una tela.

-Quantitat de cèl·lules sanguínies en 1 centímetre cúbic.

-Cridades per minut a una central telefònica.

-Chispas de xocolata presents en 1 kg de massa per pastís.

-Nombre d'arbres infectats per cert paràsit en 1 hectàrea de bosc.

Cal observar que aquestes variables aleatòries representen la quantitat de vegades que succeeix un event durant un període de temps fix (trucades per minut a la central telefònica), o una regió donada d'l'espai (defectes d'una tela per metre quadrat).

Aquests esdeveniments, com ja s'ha establert, són independents de el temps que hagi passat des de l'última ocurrència.

Aproximant la distribució binomial amb la distribució de Poisson

La distribució de Poisson és una bona aproximació a la distribució binomial sempre que:

-El mida de la mostra sigui gran: n ≥ 100

-La probabilitat p és petita: p ≤ 0,1

- μ estigui en l'ordre: np ≤ 10

En aquests casos la distribució de Poisson és una excel·lent eina, ja que la distribució binomial pot arribar a ser complicada d'aplicar en aquests casos.

exercicis resolts

exercici 1

Un estudi sismològic va determinar que durant els últims 100 anys, hi va haver 93 terratrèmols grans a tot el món, de al menys 6.0 en l'escala de Richter -logarítmica-. Suposem que la distribució de Poisson és un model adequat en aquest cas. trobar:

a) La mitjana d'ocurrència de grans terratrèmols a l'any.

b) Si P (i) és la probabilitat que ocorrin i terratrèmols durant un any seleccionat a l'atzar, trobar les següents probabilitats:

És bastant menor que P (2).

Els resultats es llisten a continuació:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Per exemple, podríem dir que hi ha una probabilitat de 39.5% que no passi cap gran terratrèmol en un any donat. O que hi ha 5,29% que succeeixin 3 grans terratrèmols en l'esmentat any.

Solució c)

c) S'analitzen les freqüències, multiplicant per n = 100 anys:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0229; 0,0355 i 0,00471.

Per exemple:

- Una freqüència de 39.5 indica que, en 39.5 de 100 anys ocorren 0 terratrèmols grans, podríem dir que està bastant a prop a el resultat real de 47 anys sense cap gran terratrèmol.

Comparem altre resultat de Poisson amb els resultats reals:

- El valor obtingut de 36.7 vol dir que en un període 37 anys ha 1 gran terratrèmol. El resultat real és que en 31 anys hi va haver 1 gran terratrèmol, una bona coincidència amb el model.

- S'esperen 17.1 anys amb 2 grans terratrèmols i se sap que en 13 anys, que és un valor proper, hi va haver a efecte 2 grans terratrèmols.

Per tant el model de Poisson és acceptable per a aquest cas.

exercici 2

Una companyia estima que el nombre de components que fallen abans de complir 100 hores de funcionament, segueix una distribució de Poisson. Si el nombre mitjà de fallades es 8 en aquest temps, trobar les següents probabilitats:

a) Que un component falli en 25 hores.

b) Falla de menys de dos components, a 50 hores.

c) Que fallin almenys tres components en 125 hores.

Solució a)

a) Se sap que la mitjana de falles en 100 hores és 8, per tant en 25 hores s'espera la quarta part de fallades, és a dir 2 errors. Aquest serà el paràmetre μ.

Es demana la probabilitat que falli 1 component, la variable aleatòria és "components que fallen abans de 25 hores" i el seu valor és i = 1. A l'substituir en la funció de probabilitat:

No obstant això, la pregunta és la probabilitat que fallin menys de dos components en 50 hores, no fallin exactament 2 components en 50 hores, per tant cal sumar les probabilitats que:

-Cap falli

-Falle solament 1

El paràmetre μ de la distribució en aquest cas és:

μ = 8 + 2 = 10 fallades en 125 hores.

P (fallin 3 o més components) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

referències

1. MathWorks. Distribució de Poisson. Recuperat de: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Estadística per Administració i Economia. 3ra. edició. Grup Editorial Iberoamèrica.
3. Stat Trek. Teach yourself Statistics. Poisson Distribution. Recuperat de: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poisson distribution. Recuperat de: en.wikipedia.org