La distribució binomial és una distribució de probabilitats mitjançant la qual es calcula la probabilitat d'ocurrència d'esdeveniments, sempre que es presentin sota dues modalitats: èxit o fracàs.
Aquestes denominacions (èxit o fracàs) són completament arbitràries, ja que no necessàriament signifiquen coses bones o dolentes. Durant aquest article indicarem la forma matemàtica de la distribució binomial i després s'explicarà amb detall el significat de cada terme.
Figura 1. El llançament d'un dau és un fenomen que es pot modelar mitjançant la distribució binomial. Font: Pixabay.
equació
L'equació és la següent:
Amb x = 0, 1, 2, 3….n, on:
- P (x) és la probabilitat de tenir exactament x èxits entre n intents o assaigs.
- x és la variable que descriu a l'fenomen d'interès, corresponent a l'nombre d'èxits.
- n el nombre d'intents
- p és la probabilitat d'èxit en 1 intent
- q és la probabilitat de falla en 1 intent, per tant q = 1 - p
El símbol d'admiració "!" s'utilitza per a la notació factorial, de manera que:
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
I així successivament.
concepte
La distribució binomial és molt apropiada per a descriure situacions en les que un esdeveniment es produeix o no es produeix. Si es produeix és un èxit i si no, llavors és un fracàs. A més la probabilitat d'èxit s'ha de mantenir sempre constant.
Hi ha fenòmens que s'ajusten a aquestes condicions, per exemple el llançament d'una moneda. En aquest cas, podem dir que l ' "èxit" és obtenir una cara. La probabilitat és ½ i no canvia, sense importar quantes vegades es llanci la moneda.
El llançament d'un dau honest és un altre bon exemple, així com categoritzar en peces bones i peces defectuoses una determinada producció i obtenir un vermell en comptes d'un negre a l'girar una ruleta.
Característiques
Podem resumir les característiques de la distribució binomial de la següent manera:
- Qualsevol esdeveniment o observació, s'extreu d'una població infinita sense reemplaçament o d'una població finita amb reemplaçament.
- Es consideren només dues opcions, mútuament excloents: èxit o fracàs, com es va explicar a l'començament.
- La probabilitat d'èxit ha de ser constant en qualsevol observació que es faci.
- El resultat de qualsevol esdeveniment és independent de qualsevol altre esdeveniment.
- La mitjana de la distribució binomial és np
- La desviació estàndard és:
Exemple d'aplicació
Prenguem un esdeveniment senzill, que pot ser obtenir 2 cares 5 a l'llançar un dau honest 3 vegades. Quines probabilitats hi ha que en 3 llançaments s'obtinguin 2 cares de 5?
Hi ha diverses formes d'aconseguir-, per exemple que:
- Els dos primers llançaments siguin 5 i l'últim no.
- El primer i l'últim siguin 5 però no el de l'mig.
- Els dos últims llançaments resultin 5 i el primer no.
Prenguem com a exemple la primera seqüència descrita i calculem la seva probabilitat d'ocurrència. La probabilitat d'obtenir una cara 5 en el primer llançament és 1/6, i també en el segon, ja que són esdeveniments independents.
La probabilitat d'obtenir una altra cara diferent de 5 en l'últim llançament és 1 - 1/6 = 5/6. Per tant la probabilitat que surti aquesta seqüència, és el producte de les probabilitats:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023
Què hi ha de les altres dues seqüències? Tenen idèntica probabilitat: 0.023.
I com tenim un total de 3 seqüències reeixides, la probabilitat total serà:
exemple 2
Una universitat afirma que el 80% dels estudiants que pertanyen a l'equip de bàsquet universitari es graduen. Una investigació examina el registre acadèmic de 20 estudiants membres d'aquest equip de bàsquet que es van matricular a la universitat temps enrere.
D'aquests 20 estudiants, 11 van finalitzar la cursa i 9 van abandonar els estudis.
Figura 2. Gairebé tots els estudiants que juguen per l'equip de la universitat aconsegueixen graduar-se. Font: Pixabay.
Si l'afirmació de la universitat és certa, el nombre d'estudiants que juguen bàsquet i que aconsegueixen graduar-se, d'entre 20, hauria de tenir una distribució binomial amb n = 20 ip = 0,8. Quina és la probabilitat que exactament 11 dels 20 jugadors es graduïn?
solució
En la distribució binomial:
exemple 3
Els investigadors van realitzar un estudi per determinar si hi va haver diferències significatives en les taxes de graduació entre els estudiants de medicina admesos a través de programes especials i estudiants de medicina admesos a través dels criteris d'admissió regulars.
Es va trobar que la taxa de graduació va ser de l'94% per als metges estudiants admesos a través de programes especials (basats en dades de l'Journal of the American Medical Association).
Si 10 dels estudiants dels programes especials són seleccionats a l'atzar, trobi la probabilitat que al menys 9 d'ells es van graduar.
b) Seria inusual seleccionar a l'atzar a 10 estudiants dels programes especials i obtenir que només 7 d'ells s'han graduat?
solució
La probabilitat que un estudiant admès a través d'un programa especial es graduï és 94/100 = 0.94. S'escullen n = 10 estudiants dels programes especials i es vol esbrinar la probabilitat que al menys 9 d'ells es graduïn.
De seguida es substitueixen els següents valors en la distribució binomial:
b)
referències
- Berenson, M. 1985. Estadística per Administració i Economia. Interamericana SA
- MathWorks. Distribució binomial. Recuperat de: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Estadística per Administració i Economia. 3ra. edició. Grup Editorial Iberoamèrica.
- Moore, D. 2005. Estadística Bàsica Aplicada. 2dóna. Edició.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Distribució binomial. Recuperat de: es.wikipedia.org