- definició
- Fórmules i equacions
- - curtosi d'acord a la presentació de les dades
- Dades sense agrupar o agrupats en freqüències
- Dades agrupats en intervals
- Excés de curtosi
- Per a què serveix la curtosi?
- Els salaris de 3 departaments
- Els resultats d'un examen
- Exemple resolt de curtosi
- solució
- pas 1
- pas 2
- pas 3
- referències
La curtosi o kurtosis és un paràmetre estadístic que serveix per caracteritzar la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria, indicant el grau de concentració dels valors al voltant de la mesura central. Això també es coneix com "grau de bec".
El terme prové de el grec "kurtos" que significa arquejat, per tant la curtosi assenyala el grau d'apuntament o aplanament de la distribució, com es veu en la següent figura:
Figura 1. Diferents tipus de curtosi. Font: F. Zapata.
Gairebé tots els valors d'una variable aleatòria tendeixen a agrupar-se al voltant d'un valor central com la mitjana. Però en algunes distribucions, els valors estan més dispersos que en altres, donant com a resultat corbes més aplanades o més esveltes.
definició
La curtosi és un valor numèric propi de cada distribució de freqüències, que d'acord a la concentració dels valors al voltant de la mitjana, es classifiquen en tres grups:
- Leptocúrtica: en la qual els valors estan molt agrupats al voltant de la mitjana, de manera que la distribució es presenta força apuntada i esvelta, (figura 1, esquerra).
- Mesocúrtica: posseeix una concentració moderada de valors al voltant de la mitjana (figura 1 al centre).
- Platicúrtica: està distribució té una forma més ampla, ja que els valors tendeixen a estar més dispersos (figura 1 a la dreta).
Fórmules i equacions
La curtosi pot tenir qualsevol valor, sense limitacions. El seu càlcul es duu a terme depenent de la manera en què es lliurin les dades. La notació emprada en cada cas és la següent:
Coeficient de curtosi: g 2
-Mitja aritmètica: X ox amb barra
-Un valor i-èsim: x i
-La desviació estàndard: σ
-El nombre de dades: N
-La freqüència de la valor i-èsim: f i
-Marca de classe: mx i
Amb aquesta notació, presentem algunes de les fórmules més utilitzades per trobar la curtosi:
- curtosi d'acord a la presentació de les dades
Dades sense agrupar o agrupats en freqüències
Dades agrupats en intervals
Excés de curtosi
També anomenat coeficient d'apuntament de Fisher o mesura de Fisher, serveix per comparar la distribució en estudi amb la distribució normal.
Quan l'excés de curtosi val 0, estem en presència d'una distribució normal o campana de Gauss. D'aquesta manera, sempre que es calculi l'excés curtosi d'una distribució, en realitat l'estem comparant amb la distribució normal.
Tant per a les dades sense agrupar com per les dades agrupades, el coeficient d'apuntament de Fisher, denotat per K, és:
K = g 2 - 3
Ara bé, es pot demostrar que la curtosi de la distribució normal és 3, per tant si el coeficient d'apuntament de Fisher és 0 o proper a 0 i es té una distribució mesocúrtica. Si K> 0 la distribució és leptocúrtica i si K <0 és platicúrtica.
Per a què serveix la curtosi?
La curtosi és una mesura de variabilitat utilitzada per caracteritzar la morfologia d'una distribució. D'aquesta manera es poden comparar distribucions simètriques amb la mateixa mitjana i igual dispersió (en fa la desviació estàndard).
Disposar de mesures de variabilitat assegura que les mitjanes siguin fiables i ajuda a controlar les variacions de la distribució. A tall d'exemple, analitzem aquestes dues situacions.
Els salaris de 3 departaments
Suposem que el següent gràfic mostra les distribucions en el salari de 3 departaments d'una mateixa companyia:
Figura 2. Tres distribucions amb curtosi diferents il·lustren situacions pràctiques. (Elaborat per Fanny Zapata)
La corba A és la més esvelta de totes, i de la seva forma s'infereix que la major part dels salaris d'aquest departament està molt proper a la mitjana, per tant la majoria dels empleats reben compensacions semblants.
Per la seva part en el departament B, la corba dels salaris segueix una distribució normal, ja que la corba és mesocúrtica, en la qual suposem que els salaris van quedar distribuïts a l'atzar.
I finalment tenim la corba C que és molt aplanada, un senyal que en aquest departament el rang salarial és molt més ampli que en els altres.
Els resultats d'un examen
Suposem ara que les tres corbes de la figura 2 representen els resultats d'un examen aplicat a tres grups d'alumnes d'una mateixa assignatura.
El grup les qualificacions es representa per la corba A leptocúrtica, és bastant homogeni, la majoria va obtenir una qualificació mitjana o propera.
També és possible que el resultat es degués al fet que les preguntes de l'examen tenien més o menys el mateix grau de dificultat.
En canvi els resultats de el grup C indiquen una major heterogeneïtat en el grup, que probablement conté estudiants mitjana, alguns alumnes més avantatjats i segurament el mateix menys atents.
O va poder significar que les preguntes de la prova tenien molt diferents graus de dificultat.
La corba B és mesocúrtica, indicativa de que els resultats de la prova van seguir una distribució normal. Aquest sol ser el cas més freqüent.
Exemple resolt de curtosi
Trobar el coeficient d'apuntament de Fisher per a les següents qualificacions, obtingudes en un examen de Física a un grup d'alumnes, amb una escala de l'1 a el 10:
solució
S'utilitzarà la següent expressió per a dades no agrupades, donada en les seccions precedents:
K = g 2 - 3
Aquest valor permet conèixer el tipus de distribució.
Per calcular g 2 és convenient fer-ho de manera ordenada, pas a pas, ja que cal resoldre diverses operacions aritmètiques.
pas 1
En primer lloc es calcula la mitjana de les qualificacions. Hi ha N = 11 dades.
pas 2
Es troba la desviació estàndard, per la qual cosa s'utilitza aquesta equació:
σ = 1.992
O també es pot construir una taula, que igualment es requereix per al següent pas i en la qual s'escriu cada terme de les sumatòries que es necessitaran, començant per (x i - X), després (x i - X) 2 i després (x i - X) 4:
pas 3
Efectuar la sumatòria indicada en el numerador de la fórmula per g 2. Per això s'utilitza el resultat de la columna dreta de la taula anterior:
Σ (x i - X) 4 = 290.15
Per tant:
g 2 = (1/11) x /1.992 290.15 4 = 1.675
El coeficient d'apuntament de Fisher és:
K = g 2 - 3 = 1.675 - 3 = 1325
El que interessa és el signe de l'resultat, que a l'ésser negatiu correspon a una distribució platicúrtica, la qual cosa pot interpretar-se com es va fer en l'exemple anterior: possiblement sigui un curs heterogeni amb estudiants de diferents graus d'interès o bé les preguntes d'examen van ser de diferents nivells de dificultat.
L'ús d'un full de càlcul com Excel, facilita en gran manera la resolució d'aquest tipus de problemes i també ofereix l'opció de graficar la distribució.
referències
- Levin, R. 1988. Estadística per a Administradors. 2dóna. Edició. Prentice Hall.
- Marc, F. curtosi. Recuperat de: economipedia.com.
- Oliva, J. Asimetria i curtosi. Recuperat de: estadisticaucv.files.wordpress.com.
- Spurr, W. 1982. Presa de Decisions en Administració. Limusa.
- Wikipedia. Kurtosis. Recuperat de: en.wikipedia.org.