- Exemples d'cuasivarianza
- Per què dividir entre n-1?
- Forma alternativa de calcular la cuasivarianza
- La puntuació estàndard
- exercici resolt
- solució a
- solució b
- referències
La cuasivarianza, quasi variància o variància no esbiaixada és una mesura estadística de la dispersió de les dades d'una mostra respecte a la mitjana. La mostra al seu torn, consisteix en una sèrie de dades preses d'un univers més gran, anomenat població.
Es denota de diverses maneres, aquí s'ha triat s c 2 i per calcular-se segueix la fórmula següent:
Figura 1. La definició de cuasivarianza. Font: F. Zapata.
on:
La cuasivarianza és similar a la variància s 2, amb l'única diferència que en el denominador d'aquella està n-1, mentre que en el de la variància es divideix només per n. És evident que quan n és molt gran, els valors de les dues tendeixen a ser els mateixos.
Quan es coneix el valor de la cuasivarianza, immediatament es pot conèixer el de la variància.
Exemples d'cuasivarianza
Sovint es desitja conèixer les característiques d'una població qualsevol: de persones, animals, plantes i en general qualsevol tipus d'objectes. Però analitzar la població sencera pot no ser tasca fàcil, sobretot si el nombre d'elements és molt gran.
Llavors es prenen mostres, amb l'esperança que el comportament d'elles reflecteixi a el de la població i així poder realitzar inferències sobre la mateixa, gràcies a les quals s'optimitzen els recursos. A això se li coneix com inferència estadística.
Aquests són alguns exemples en els quals la cuasivarianza i la quasi desviació típica associada, serveixen com a indicador estadístic a l'assenyalar que tant s'allunyen els resultats obtinguts pel que fa a la mitjana.
1.- El director de màrqueting d'una companyia que fabrica bateries per a automòbils necessita estimar, en mesos, la durada mitjana d'una bateria.
Per a això selecciona aleatòriament una mostra de 100 bateries d'aquesta marca comprades. La companyia conserva un registre de les dades dels compradors i pot entrevistar-los per conèixer la durada de les bateries.
Figura 2. La cuasivarianza és útil per fer inferències i control de qualitat. Font: Pixabay.
2.- La direcció acadèmica d'una institució universitària necessita estimar la matrícula del següent any, analitzant la quantitat d'estudiants que s'espera que aprovin les assignatures que cursen actualment.
Per exemple, de cadascuna de les seccions que actualment cursen l'assignatura Física I, la direcció pot seleccionar una mostra d'estudiants i analitzar el seu rendiment en aquesta càtedra. D'aquesta manera pot inferir quants estudiants cursaran Física II en el pròxim període.
3.- Un grup d'astrònoms enfoca la seva atenció en una part de el cel, on s'observen cert nombre d'estrelles amb determinades característiques: mida, massa i temperatura per exemple.
Cal preguntar-se si les estrelles en una altra regió similar tindran aquestes mateixes característiques, fins i tot estrelles en altres galàxies, com les veïnes Núvols de Magallanes o Andròmeda.
Per què dividir entre n-1?
A la cuasivarianza es divideix entre n-1 en comptes de fer-ho entre ni es deu al fet que la cuasivarianza és un estimador no esbiaixat, com es va dir a l'començament.
Passa que d'una mateixa població és possible extreure moltes mostres. La variància de cadascuna d'aquestes mostres també es pot fer la mitjana, però la mitjana d'aquestes variàncies no resulta ser igual a la variància de la població.
De fet, la mitjana de les variàncies de la mostra tendeix a subestimar la variància de la població, a menys que s'utilitzi n-1 al denominador. Es pot comprovar que el valor esperat de la cuasivarianza I (s c 2) és precisament s 2.
Per això es diu que la cuasivarianza és no esbiaixada i resulta un millor estimador de la variància poblacional s 2.
Forma alternativa de calcular la cuasivarianza
Es demostra fàcilment que la cuasivarianza també es pot calcular de la següent manera:
s c 2 = -
La puntuació estàndard
A l'tenir la desviació de la mostra, podem saber quantes desviacions estàndard té un valor particular x, ja sigui per sobre o per sota de la mitjana.
Per a això s'empra la següent expressió adimensional:
Puntuació estàndard = (x - X) / s c
exercici resolt
863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883
a) Utilitza la definició de cuasivarianza donada a l'començament i també verifiqui el resultat mitjançant la forma alternativa donada en la secció precedent.
b) Calculeu la puntuació estàndard de la segona dada, llegint de dalt a baix.
solució a
El problema es pot resoldre a mà amb ajuda d'una calculadora senzilla o científica, per a això cal procedir en ordre. I per això res millor que organitzar les dades en una taula com la que es mostra a continuació:
Gràcies a la taula es té la informació organitzada i les quantitats que es necessitaran en les fórmules estan a la fi de les respectives columnes, a punt per utilitzar immediatament. Les sumatòries s'indiquen en negreta.
La columna de la mitjana es repeteix sempre, però val la pena ja que és convenient tenir a la vista el valor, per anar omplint cada fila de la taula.
Finalment s'aplica l'equació per a la cuasivarianza donada a l'començament, només es substitueixen els valors i pel que fa a la sumatòria, ja la tenim calculada:
s c 2 = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2
Aquest és el valor de la cuasivarianza i les seves unitats són "dòlars a l'quadrat", el que no té molt sentit pràctic, per això es calcula la QUASIDESVIACIÓ estàndard de la mostra, que no és més que l'arrel quadrada de la cuasivarianza:
s c = (√ 144.888,2) $ = 380,64 $
Immediatament es corrobora que aquest valor s'obté igualment amb la forma alternativa de la cuasivarianza. La sumatòria necessària està a la fi de l'última columna de l'esquerra:
s c 2 = - = -
= 2136016,55-1991128,36 = 144.888 dòlars a l'quadrat
És el mateix valor obtingut amb la fórmula donada a l'començament.
solució b
El segon valor de dalt a baix és 903, la seva puntuació estàndard és
Puntuació estàndard de 903 = (x - X) / s c = (903 - 1351) /380.64 = 1177
referències
- Canavos, G. 1988. Probabilitat i Estadística: Aplicacions i mètodes. McGraw Hill.
- Devori, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
- Levin, R. 1988. Estadística per a Administradors. 2dóna. Edició. Prentice Hall.
- Mesures de dispersió. Recuperat de: thales.cica.es.
- Walpole, R. 2007. Probabilitat i Estadística per Enginyeria i Ciències. Pearson.