- Per a què serveix el coeficient de restitució?
- el momentum
- Energia i coeficient de restitució
- Com es calcula el coeficient de restitució?
- exemple
- solució
- referències
El coeficient de restitució és el quocient entre la velocitat relativa d'allunyament i la velocitat relativa d'apropament de dos cossos que col·lisionen. Quan els cossos queden units després de la col·lisió, aquest quocient és nul. I val la unitat en el cas que la col·lisió sigui perfectament elàstica.
Suposem dues esferes sòlides de massa M1 i massa M2 respectivament que pateixen una col·lisió. Just abans de la col·lisió les esferes tenien velocitats V1 i V2 respecte a cert sistema inercial de referència. Just després de la col·lisió seves velocitats canvien a V1 ' i V2'.
Figura 1. Col·lisió de dues esferes de masses M1 i M2 i el seu coeficient de restitució e. Elaborat per Ricardo Pérez.
S'ha col·locat lletra negreta a les velocitats per indicar que les mateixes es tracten de quantitats vectorials.
Els experiments indiquen que tota col·lisió compleix la següent relació:
V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)
On e és un nombre real comprès entre 0 i 1, anomenat el coeficient de restitució de la col·lisió. L'expressió anterior s'interpreta així:
La velocitat relativa de dues partícules abans de la col·lisió és proporcional a la velocitat relativa de les dues partícules després de la col·lisió, la constant de proporcionalitat és (-i), on e és el coeficient de restitució de la col·lisió.
Per a què serveix el coeficient de restitució?
La utilitat d'aquest coeficient rau en conèixer el grau de inelasticitat d'una col·lisió. En cas que la col·lisió sigui perfectament elàstica el coeficient serà 1, mentre que en una col·lisió completament inelàstica el coeficient valdrà 0, ja que en aquest cas, la velocitat relativa després de la col·lisió és nul·la.
Recíprocament, si es coneix el coeficient de restitució d'una col·lisió i les velocitats de les partícules abans d'ella, llavors poden predir les velocitats després que passi aquesta col·lisió.
el momentum
A les col·lisions, a més de la relació que estableix el coeficient de restitució, hi ha una altra relació fonamental, que és la conservació de l'momentum.
El momentum p d'una partícula, o quantitat de moviment com també se l'anomena, és el producte de la massa M de la partícula per la seva velocitat V. És a dir: el momentum p és una quantitat vectorial.
En les col·lisions el momentum lineal P de el sistema és igual just abans i just després de la col·lisió, pel fet que les força exteriors són menyspreables enfront de les breus però intenses forces d'interacció interna durant la col·lisió. Però no n'hi ha prou amb la conservació de l'momentum P de el sistema per resoldre el problema general de la col·lisió.
En el cas esmentat prèviament, el de les dues esferes de masses M1 i M2 que xoquen, la conservació de l'momentum lineal s'escriu així:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2'.
No hi ha manera de resoldre el problema de la col·lisió si no es coneix el coeficient de restitució. La conservació de l'momentum, encara que necessària, és insuficient per predir les velocitats després de la col·lisió.
Quan un problema afirma que els cossos queden movent-se junts després de la col·lisió, implícitament diu que el coeficient de restitució és 0.
Figura 2. En les boles de billar es produeixen col·lisions de coeficient de restitució mica menor a 1. Font: Pixabay.
Energia i coeficient de restitució
L'altra quantitat física important que intervé en les col·lisions és l'energia. Durant les col·lisions hi ha intercanvis d'energia cinètica, energia potencial i altres tipus d'energia, com l'energia calòrica.
Abans i després de la col·lisió l'energia potencial d'interacció és pràcticament nul·la, per això el balanç energètic involucra l'energia cinètica de les partícules abans i després i una quantitat Q anomenada energia dissipada.
Per a les dues esferes de masses M1 i M2 que col·lisionen el balanç energètic abans i després de la col·lisió s'escriu així:
½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q
Quan la forces d'interacció durant la col·lisió són purament conservatives ocorre que l'energia cinètica total de les partícules que col·lisionen es conserva, és a dir, és igual abans i després de la col·lisió (Q = 0). Quan això passa es diu que la col·lisió és perfectament elàstica.
En els casos de col·lisions elàstiques, no es dissipa energia. I a més el coeficient de restitució compleix: i = 1.
Per contra, en les col·lisions inelàstiques Q ≠ 0 i 0 ≤ i <1. Sabem, per exemple, que la col·lisió de les boles de billar no és perfectament elàstica perquè el so que s'emet durant l'impacte és part de l'energia dissipada.
Perquè un problema de col·lisions quedi perfectament determinat, cal conèixer el coeficient de restitució, o alternativament la quantitat d'energia dissipada durant la col·lisió.
El coeficient de restitució depèn de la naturalesa i tipus d'interacció entre els dos cossos durant la col·lisió.
Per la seva banda, la velocitat relativa dels cossos abans de la col·lisió definirà la intensitat de la interacció i d'allí la seva influència sobre el coeficient de restitució.
Com es calcula el coeficient de restitució?
Per il·lustrar com es calcula el coeficient de restitució d'una col·lisió prendrem un cas senzill:
Suposem la col·lisió de dues esferes de masses M1 = 1 kg i M2 = 2 kg que es mouen sobre un rail recte sense fricció (com a la figura 1).
La primera esfera incideix amb velocitat inicial V1 = 1 m / s sobre la segona que originalment està en repòs, és a dir V2 = 0 m / s.
Després de la col·lisió queden movent-se així: la primera es deté (V1 '= 0 m / s) i la segona es mou cap a la dreta amb velocitat V2' = 1/2 m / s.
Per calcular el coeficient de restitució en aquesta col·lisió apliquem la relació:
V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - i (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - i => i = 1/2.
exemple
En la col·lisió unidimensional de les dues esferes de la secció anterior es va calcular el seu coeficient de restitució resultant ser i = ½.
Com i ≠ 1 la col·lisió no és elàstica, és a dir que l'energia cinètica de el sistema no es conserva i hi ha certa quantitat d'energia dissipada Q (per exemple escalfament de les esferes a causa de la col·lisió).
Determineu el valor de l'energia dissipada en Joules. També calculi la fracció percentual d'energia dissipada.
solució
L'energia cinètica inicial de l'esfera 1 es:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
mentre que la de l'esfera 2 és zero per estar inicialment en repòs.
Llavors l'energia cinètica inicial de el sistema és Ki = ½ J.
Després de la col·lisió només la segona esfera es mou amb velocitat V2 '= ½ m / s, de manera que l'energia cinètica final de el sistema serà:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
És a dir, l'energia dissipada en la col·lisió és:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
I la fracció d'energia dissipada en aquesta col·lisió es calcula de la següent manera:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5 és a dir que s'ha dissipat el 50% de l'energia de el sistema a causa de la col·lisió inelàstica el coeficient de restitució és 0,5.
referències
- Bauer, W. 2011. Física per Enginyeria i Ciències. Volum 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. 2005. Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 1. Cinemàtica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1.
- Wikipedia. Quantitat de movimiento.Recuperado de: es.wikipedia.org.