COEFICIENT DE POISSON: COEFICIENT, FÓRMULES, VALORS, EXEMPLES - FÍSICA - 2025

El coeficient de Poisson és una quantitat adimensional, característica de cada material. És un indicatiu de la deformació d'un tros de material davant l'aplicació de certs esforços.

Quan un tros material que se sotmet a una tensió, o una compressió, pateix una deformació, el quocient entre la deformació transversal i la deformació longitudinal és precisament el coeficient de Poisson.

Figura 1. El coeficient de Poisson mesura la relació entre estirament longitudinal i estrenyiment transversal. (Elaborat per Ricardo Pérez)

Per exemple, un cilindre de goma que se sotmet a una tensió en els seus extrems s'estira en la direcció longitudinal, però s'estreny transversalment. A la figura 1 es mostra una barra les dimensions originals són: llarg L i diàmetre D.

La barra se sotmet a una tensió T pels seus extrems, i com a conseqüència d'aquesta tensió pateix un estirament, de manera que el nou llarg és L '> L. Però a l'estirar-se, també ocorre un estrenyiment del seu diàmetre a el nou valor: D '<D.

El quocient entre l'estirament (positiu) i l'estrenyiment (negatiu) multiplicat per (-1), és un nombre positiu comprès entre 0 i 0,5. Aquest número és l'anomenat coeficient de Poisson ν (lletra grega nu).

Fórmula de el coeficient de Poisson

Per calcular el coeficient de Poisson és necessari determinar la deformació unitària longitudinal i transversal.

La deformació unitària longitudinal ε _L és l'estirament dividit entre el llarg original:

ε _L = (L '- L) / L

De la mateixa manera, la deformació unitària transversal ε _T és l'estrenyiment radial dividit entre el diàmetre original:

ε _T = (D '- d) / D

Per tant, el coeficient de Poisson es calcula mitjançant la fórmula següent:

ν = - ε _T / ε _L

Relació amb el mòdul d'elasticitat i el mòdul de rigidesa

El coeficient de Poisson ν, es relaciona amb el mòdul I d'elasticitat (o mòdul de Young) i amb el mòdul de rigidesa G, mitjançant la següent fórmula:

Valor el coeficient de Poisson per als materials

Figura 2. L'acer inoxidable té coeficient de Poisson entre 0,30 i 0,31. Font: Pixabay.

Exemples de càlcul

exemple 1

Una barra de cert material plàstic té una longitud de 150 mm i secció circular de 20 mm de diàmetre. Quan se li sotmet a una força de compressió F de 612,25 kg-f, s'observa un escurçament d'14 mm i simultàniament un augment de 0,85 mm en el diàmetre de la barra.

calcular:

a) La deformació unitària longitudinal.

b) La deformació unitària transversal.

c) El coeficient de Poisson d'aquest material.

d) El mòdul d'elasticitat de Young corresponent a l'material.

e) El mòdul de rigidesa per a aquest plàstic.

solució a

Recordem que la deformació unitària longitudinal εL és l'estirament dividit entre el llarg original:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Cal observar que la deformació unitària longitudinal és adimensional, i en aquest cas ha donat negativa perquè hi va haver disminució en la seva dimensió longitudinal.

solució b

Similarment, la deformació unitària transversal εT és l'estrenyiment radial, dividit entre el diàmetre original:

εT = (D '- d) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

La deformació unitària transversal ha resultat positiva perquè hi ha hagut un augment de l'diàmetre de la barra.

solució c

Per al càlcul de coeficient de Poisson hem de recordar que es defineix com el negatiu de l'quocient entre la deformació transversal i la deformació longitudinal:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Cal recordar que el coeficient de Poisson és un nombre adimensional positiu i per a la majoria dels materials està comprès entre 0 i 0,5.

solució d

El mòdul d'elasticitat de Young, denotat per la lletra E, és la constant de proporcionalitat en la llei de Hooke. Mitjançant E, es relaciona l'esforç normal σL amb la deformació unitària εL, de la següent forma:

σL = I εL

Es defineix l'esforç normal com el quocient entre la força normal (en aquest cas paral·lela a l'eix de la barra) i la secció transversal d'àrea:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

En aquest exercici, la força F és de 612,25 kg-f, la qual haurà de convertir-se a newtons que és la unitat SI de força:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Per la seva banda la secció transversal d'àrea A és:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Finalment l'esforç normal aplicat a la barra és:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19,098 MPa

Per calcular el mòdul d'elasticitat de Young aïllem I de la llei de Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

solució i

El mòdul de rigidesa G es relaciona amb el mòdul I de Young i amb el coeficient de Poisson ν mitjançant aquesta fórmula:

I / (2 G) = 1 + ν

D'allí es pot aclarir G:

G = I / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

exemple 2

Es té un cable de coure de diàmetre 4 mm i 1 m de llarg. Sabent que el mòdul de Young de l'coure és 110000 MPa i que el seu coeficient de Poisson és 0,34, estimi l'estirament i l'estrenyiment en diàmetre que pateix el filferro quan se li penja un pes de 100 kg-f.

solució

En primer lloc cal calcular l'esforç de tracció normal que el pes exerceix sobre el filferro, seguint aquesta fórmula:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

La força F és de 980 N i la secció transversal d'àrea és:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Llavors l'esforç tracció és:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa

Càlcul de la deformació unitària de la corda fluixa

El mòdul d'elasticitat de Young, denotat per la lletra E, és la constant de proporcionalitat en la llei de Hooke que relaciona l'esforç normal σL amb la deformació unitària εL:

σL = I εL

D'allí pot aclarir la deformació unitària longitudinal de el filferro de coure:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Càlcul de la deformació unitària transversal

D'altra banda, per saber la deformació unitària transversal s'aplica el coeficient de Poisson:

ν = - εT / εL

Finalment, s'ha de la deformació unitària transversal és:

εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Càlcul de l'estirament absolut del cable

Finalment, per conèixer l'estirament absolut del cable, cal aplicar la següent relació:

L = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

És a dir, amb aquest pes el cable amb prou feines es va estirar 0,709 mil·límetres.

Càlcul de la disminució en el diàmetre

Per obtenir el achicamiento absolut en diàmetre fem servir la fórmula següent:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -,000964 mil·límetres.

Aquest estrenyiment en diàmetre és tan petit que és difícil d'apreciar a simple vista, fins i tot el seu mesurament requereix d'un instrument d'alta precisió.

referències

1. Beer F.. Mecànica de materials. 5ta. Edició. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mecànica de materials. Vuitena edició. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mecànica de materials. Vuitena edició. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th Ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Apunts de Física General. UNAM. 87-98.