COEFICIENT DE DETERMINACIÓ: FÓRMULES, CÀLCUL, INTERPRETACIÓ, EXEMPLES - DUDAS - 2026

El coeficient de determinació és un nombre comprès entre 0 i 1 que representa la fracció de punts (X, Y) que segueixen la línia d'ajust per regressió d'un conjunt de dades amb dues variables.

També se li coneix com bondat de l'ajust i se li denota per R ². Per calcular-es pren el quocient entre la variància de les dades Yi estimats pel model de regressió i la variància de les dades Yi corresponents a cada Xi de les dades.

R ² = es i / Sy

Figura 1. Coeficient de correlació per a quatre parells de dades. Font: F. Zapata.

Si el 100% de les dades estan sobre la línia de la funció de regressió, llavors el coeficient de determinació serà 1.

Per contra, si per a un conjunt de dades i certa funció d'ajust el coeficient R ² resultés ser igual a 0.5, llavors es pot dir que l'ajust és satisfactori o bo en un 50%.

De manera similar, quan el model de regressió llança valors de R ² inferiors 0.5, això indica que la funció d'ajust triada no s'adapta satisfactòriament a les dades, sent per tant necessari buscar una altra funció d'ajust.

I quan la covariància o el coeficient de correlació tendeix a zero, llavors les variables X i Y de les dades no tenen cap relació, i per tant R ² també tendirà a zero.

Com calcular el coeficient de determinació?

A la secció anterior es va dir que el coeficient de determinació es calcula trobant el quocient entre les variàncies:

-Estimada per la funció de regressió de la variable I

-La de la variable Yi corresponent a cadascuna de la variable Xi dels N parells dades.

Dit en forma matemàtica, queda així:

R ² = es i / Sy

D'aquesta fórmula es desprèn que R ² representa la proporció de variància explicada pel model de regressió. Alternativament, es pot calcular R ² mitjançant la següent fórmula, totalment equivalent a l'anterior:

R ² = 1 - (Sε / Sy)

On Sε representa la variància dels residus εi = Yi - Yi, mentre que Sy és la variància del conjunt de valors Yi de les dades. Per determinar Yi s'aplica la funció de regressió, el que significa afirmar que Yi = f (Xi).

La variància del conjunt de dades Yi, amb i d'1 a N es calcula d'aquesta manera:

Sy =

I després es procedeix en forma similar per si o per Sε.

cas il·lustratiu

A manera de mostrar el detall de la forma com es fa el càlcul de coeficient de determinació prendrem el següent conjunt de quatre parells de dades:

(X, Y): {(1, 1); (2, 3); (3, 6) i (4, 7)}.

Es proposa un ajust de regressió lineal per a aquest conjunt de dades que s'obté mitjançant el mètode dels mínims quadrats:

f (x) = 2.1 x - 1

Aplicant aquesta funció d'ajust, s'obtenen els parells:

(X, Y): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) i (4, 7.4)}.

Després calculem la mitjana aritmètica per a X i Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

variància Sy

Sy = / (4-1) =

= = 7.583

variància SY

SY = / (4-1) =

= = 7.35

Coeficient de determinació R ²

R ² = es i / Sy = 7.35 / 7.58 = 0.97

interpretació

El coeficient de determinació per al cas il·lustratiu considerat en el segment anterior va resultar ser 0.98. És a dir que l'ajust lineal mitjançant la funció:

f (x) = 2.1x - 1

És el 98% fiable per explicar la data amb la qual es va obtenir mitjançant el mètode de mínims quadrats.

A més de l'coeficient de determinació, hi ha el coeficient de correlació lineal o també conegut com a coeficient de Pearson. Aquest coeficient, denotat com r, es calcula mitjançant la següent relació:

r = Sxy / (Sx Sy)

Aquí el numerador representa la covariància entre les variables X i Y, mentre que el denominador és el producte de la desviació estàndard per a la variable X i la desviació estàndard per a la variable Y.

El coeficient de Pearson pot prendre valors entre -1 i +1. Quan aquest coeficient tendeix a +1 hi ha correlació lineal directa entre X i Y. Si en canvi tendeix a -1, hi ha correlació lineal però quan X creix I decreix. Finalment, és proper a 0 no hi ha correlació entre les dues variables.

Cal destacar que el coeficient de determinació coincideix amb el quadrat de el coeficient de Pearson, només quan el primer s'ha calculat en base a un ajust lineal, però aquesta igualtat no és vàlida per a altres paràmetres no lineals.

exemples

- Exemple 1

Un grup d'estudiants de batxillerat es proposen determinar una llei empírica per al període d'un pèndol com a funció de la seva longitud. Per aconseguir aquest objectiu realitzen una sèrie de mesuraments en les que mesuren el temps d'una oscil·lació de el pèndol per a diferents longituds obtenint els següent valors:

Longitud (m)	Període (s)
0,1	0,6
0,4	1,31
0,7	1,78
1	1,93
1,3	2,19
1,6	2,66
1,9	2,77
3	3,62

Es demana realitzar un gràfic de dispersió de les dades i realitzar un ajust lineal mitjançant regressió. A més, mostrar l'equació de regressió i el seu coeficient de determinació.

solució

Figura 2. Gràfica solució de l'exercici 1. Font: F. Zapata.

Es pot observar un coeficient de determinació bastant alt (95%), de manera que es pogués pensar que l'ajust lineal és òptim. No obstant això, si s'observen els punts en conjunt, sembla que tenen tendència a corbar-se cap avall. Aquest detall no està contemplat en el model lineal.

- Exemple 2

Per les mateixes dades de l'exemple 1, realitzar un gràfic de dispersió de les dades. En aquesta oportunitat, a diferència de l'exemple 1, es demana fer un ajust per regressió mitjançant una funció potencial.

Figura 3. Gràfica solució de l'exercici 2. Font: F. Zapata.

També mostri la funció d'ajust i el seu coeficient de determinació R ².

solució

La funció potencial és de la forma f (x) = Ax ^B, on A i B són constants que es determinen per mètode de mínims quadrats.

La figura anterior mostra la funció potencial i els seus paràmetres, així com el coeficient de determinació amb un valor altíssim de 99%. Noti que les dades segueixen la curvatura de la línia de tendència.

- Exemple 3

Amb les mateixes dades de l'exemple 1 i exemple 2, realitzi un ajust polinomial de segon grau. Mostra el gràfic, el polinomi d'ajust i el coeficient de determinació R ² corresponent.

solució

Figura 4. Gràfica solució de l'exercici 3. Font: F. Zapata.

Amb l'ajust polinòmic de segon grau es pot veure una línia de tendència que s'ajusta bé a la curvatura de les dades. Així mateix, el coeficient de determinació està per sobre de l'ajust lineal i per sota de l'ajust potencial.

Comparació d'ajust

Dels tres ajustos mostrats, el que té un coeficient de determinació més alt és l'ajust potencial (exemple 2).

L'ajust potencial coincideix amb la teoria física de l'pèndol, que com se sap, estableix que el període d'un pèndol és proporcional a l'arrel quadrada de la seva longitud, sent la constant de proporcionalitat 2π / √g on g és l'acceleració de gravetat.

Aquest tipus d'ajust potencial no només té el coeficient de determinació més alt, sinó que l'exponent i la constant de proporcionalitat coincideixen amb el model físic.

conclusions

-El ajust per regressió determina els paràmetres de la funció que pretén explicar les dades mitjançant el mètode de mínims quadrats. Aquest mètode consisteix a minimitzar el sumatori de la diferència quadràtica entre el valor I d'ajust i el valor Yi de les dades per als valors Xi de les dades. D'aquesta manera es determinen els paràmetres de la funció d'ajust.

-Com hem vist, la funció d'ajust més comú és la recta, però no és l'única, ja que els ajustos poden ser també polinòmics, potencials, exponencials, logaritmes i altres.

-En tot cas, el coeficient de determinació depèn de les dades i de l'tipus d'ajust i és un indicatiu de la bondat de l'ajust aplicat.

-Per últim, el coeficient de determinació indica el percentatge de variabilitat total entre el valor I de les dades respecte a la valor Ŷ de l'ajust per als X daus.

referències

1. González C. Estadística General. Recuperat de: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Institut Aragonès de Ciències de Salut. Recuperat de: ics-aragon.com
3. Salazar C. i Castell S. Principis bàsics d'estadística. (2018). Recuperat de: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Coeficient de determinació. Recuperat de: superprof.es
5. USAC. Manual d'estadística descriptiva. (2011). Recuperat de: estadistica.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Coeficient de determinació. Recuperat de: es.wikipedia.com.