- Com calcular el coeficient de correlació?
- Covariància i variància
- cas il·lustratiu
- covariància Sxy
- Desviació estàndard Sx
- Desviació estàndard Sy
- Coeficient de correlació r
- interpretació
- regressió lineal
- exemple
- referències
El coeficient de correlació en estadística és un indicador que mesura la tendència de dues variables quantitatives X i Y a tenir una relació de linealitat o proporcionalitat entre elles.
Generalment, els parells de variables X i Y són dues característiques d'una mateixa població. Per exemple, X pot ser l'alçada d'una persona i I el seu pes.
Figura 1. Coeficient de correlació per quatre parells de dades (X, Y). Font: F. Zapata.
En aquest cas, el coeficient de correlació indicaria si hi ha tendència o no cap a una relació de proporcionalitat entre l'altura i el pes d'una població donada.
El coeficient de correlació lineal de Pearson es denota amb la lletra r minúscula i els seus valors mínim i màxim són -1 i +1 respectivament.
Un valor r = +1 indicaria que el conjunt de parells (X, Y) estan perfectament alineats i que quan X creix, I creixerà en la mateixa proporció. En canvi, si ocorregués que r = -1, el conjunt de parells també estaria perfectament alineat, però en aquest cas quan X creix, I decreix en la mateixa proporció.
Figura 2. Diferents valors de coeficient de correlació lineal. Font: Wikimedia Commons.
D'altra banda, un valor r = 0 indicaria que no hi ha correlació lineal alguna entre les variables X i Y. Mentre que un valor de r = 0,8 indicaria que els parells (X, Y) tendeixen a agrupar-se a un costat i un altre d'una certa recta.
La fórmula per calcular el coeficient de correlació r és la següent:
Com calcular el coeficient de correlació?
El coeficient de correlació lineal és una quantitat estadística que es troba incorporada en les calculadores científiques, en la majoria dels fulls de càlcul i en els programes estadístics.
No obstant això, convé saber com s'aplica la fórmula que el defineix, i per a això es mostrarà un càlcul detallat, dut a terme sobre un conjunt de dades petit.
I tal com es va dir en la secció anterior, el coeficient de correlació és la covariància Sxy dividida entre el producte de la desviació estàndard Sx per a la variables X i Sy per la variable Y.
Covariància i variància
La covariància Sxy és:
Sxy = / (N-1)
On la sumatòria va des d'1 fins als N parells de dades (Xi, Yi).
Per la seva banda, la desviació estàndard per a la variable X és l'arrel quadrada de la variància del conjunt de dades Xi, amb i d'1 a N:
Sx = √
En forma similar, la desviació estàndard per a la variable I és l'arrel quadrada de la variància del conjunt de dades Yi, amb i d'1 a N:
Sy = √
cas il·lustratiu
Amb la finalitat de mostrar amb detall la forma de realitzar el càlcul de coeficient de correlació, prendrem el següent conjunt de quatre parells de dades
(X, Y): {(1, 1); (2, 3); (3, 6) i (4, 7)}.
En primer lloc calculem la mitjana aritmètica per a X i Y, com segueix:
Després es calculen els restants paràmetres:
covariància Sxy
Sxy = / (4-1)
Sxy = / (3) = 10.5 / 3 = 3.5
Desviació estàndard Sx
Sx = √ = √ = 1.29
Desviació estàndard Sy
Sx = √ =
√ = 2.75
Coeficient de correlació r
r = 3.5 / (1.29 * 2.75) = 0.98
interpretació
En el conjunt de dades de el cas anterior s'observa una forta correlació lineal entre les variables X i Y, que es manifesta tant en el gràfic de dispersió (que s'aprecia a la figura 1) com en el coeficient de correlació, el qual va donar un valor bastant proper a la unitat.
En la mesura que el coeficient de correlació sigui més proper a 1 o -1, més sentit té l'ajust de les dades a una recta, resultat de la regressió lineal.
regressió lineal
La recta de regressió lineal s'obté de el mètode dels mínims quadrats. en què els paràmetre de la recta de regressió s'obtenen a partir de la minimització de la suma de el quadrat de la diferència entre el valor I estimat i el Yi dels N dades.
Per la seva banda, els paràmetres a i b de la recta de regressió y = a + bx, obtinguts pel mètode dels mínims quadrats, són:
* b = Sxy / (Sx 2) per a la pendent
* A =
Recordem que Sxy és la covariància definida més amunt i Sx 2 és la variància o el quadrat de la desviació estàndard abans definida.
exemple
El coeficient de correlació es fa servir per determinar si hi ha correlació de tipus lineal entre dues variables. És aplicable quan les variables a ser estudiades són de tipus quantitatiu ia més, se suposa que elles segueixen una distribució de tipus normal.
Un exemple il·lustratiu el tenim a continuació: una mesura de el grau d'obesitat és l'índex de massa corporal, el qual s'obté a l'dividir el pes d'una persona en quilograms entre l'altura a el quadrat de la mateixa en unitats de metres a l'quadrat.
Es desitja saber si hi ha una correlació forta entre l'índex de massa corporal i la concentració de colesterol HDL en sang, mesura milimols per litre. Amb aquesta finalitat s'ha fet un estudi amb 533 persones que es resumeix en el següent gràfic, en què cada punt representa les dades d'una persona.
Figura 3. Estudi d'IMC i colesterol HDL en 533 pacients. Font: Institut Aragonès de Ciències de Salut (IACS).
De l'observació acurada del gràfic, es dedueix que hi ha una certa tendència lineal (no molt marcada) entre la concentració de colesterol HDL i l'índex de massa corporal. La mesura quantitativa d'aquesta tendència és el coeficient de correlació que per a aquest cas va resultar ser r = -0,276.
referències
- González C. Estadística General. Recuperat de: tarwi.lamolina.edu.pe
- IACS. Institut Aragonès de Ciències de Salut. Recuperat de: ics-aragon.com
- Salazar C. i Castell S. Principis bàsics d'estadística. (2018). Recuperat de: dspace.uce.edu.ec
- Superprof. Coeficient de correlació. Recuperat de: superprof.es
- USAC. Manual d'estadística descriptiva. (2011). Recuperat de: estadistica.ingenieria.usac.edu.gt
- Wikipedia. Coeficient de correlació de Pearson. Recuperat de: es.wikipedia.com.