CLASSIFICACIÓ DELS NOMBRES REALS - CIÈNCIA - 2025

La principal classificació dels nombres reals es divideix en els nombres naturals, els nombres enters, els nombres racionals i els nombres irracionals. Els nombres reals són representats amb la lletra R.

Hi ha moltes maneres en les que els diferents nombres reals poden ser construïts o descrits, variant des d'unes formes més senzilles fins a unes més complexes, depenent de la feina matemàtic que es vol realitzar.

Com es classifiquen els números reals?

- Nombres naturals

Els nombres naturals estan representats per la lletra (n) i són aquells que s'utilitzen per explicar (0,1,2,3,4…). Per exemple "hi ha quinze roses al jardí", «La població de Mèxic és de 126 milions de persones» o «La suma dues i dues és 04:00 «. Caldria ressenyar que algunes classificacions inclouen a el 0 com a número natural i d'altres no.

Dos nens fent una suma de dos nombres naturals.

Els nombres naturals no inclouen aquells que tenen part decimal. Per tant, «La població de Mèxic és de 126,2 milions de persones» o «Fa una temperatura de 24,5 graus centígrads» no podrien considerar-nombres naturals.

En el llenguatge comú, com per exemple en les escoles primàries, els nombres naturals poden ser cridats números comptables per excloure els enters negatius i a l'zero.

Els nombres naturals són les bases amb la qual molts altres conjunts de nombres poden ser construïts per extensió: els números sencers, els nombres racionals, els nombres reals i els nombres complexos, entre d'altres.

Les propietats dels nombres naturals, com la divisibilitat i la distribució dels nombres primaris, són estudiats en la teoria de nombres. Els problemes relacionats amb comptar i ordenar, com les enumeracions i la partició, són estudiats en la combinatòria.

Tenen diverses propietats, com ara: la suma, la multiplicació, la resta, la divisió, etc.

Números ordinals i cardinals

Els nombres naturals poden ser ordinals o cardinals.

Els números cardinals serien aquells que s'utilitzen com a nombres naturals, tal com hem esmentat anteriorment en els exemples. «Tinc 2 galetes», «Sóc pare de 3 fills», «La caixa inclou 2 cremes de regal».

Els ordinals són aquells que expressen ordre o indiquen una posició. Per exemple, en una cursa l'ordre d'arribada dels corredors s'enumera començant pel guanyador i acabant amb l'últim que va arribar a meta.

D'aquesta manera, es dirà que el guanyador és el «primer», el següent el «segon», el següent el «tercer» i així fins a l'últim. Aquests números poden anar representats per una lletra a la part superior dreta per simplificar l'escriptura (1r, 2a, 3a, 4t, etc.).

- Nombres enters

Els nombres enters es componen d'aquells nombres naturals i els seus oposats, és a dir, els números negatius (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). A l'igual que els nombres naturals, aquests tampoc inclouen aquells que tenen part decimal.

Exemple de nombres enters serien «Fa 30º de mitjana a Alemanya», «Em vaig quedar a 0 a l'arribar a final de mes», «Per baixar a l'soterrani has de marcar el botó -1 de l'ascensor».

Al seu torn, els números enters no poden ser escrits amb un component fraccional. Per exemple, nombres com 8.58 o √2 no són nombres enters.

Els nombres enters es representen amb la lletra (Z). Z és un sub conjunt de el grup de nombres racionals Q, que al seu torn formen el grup dels nombres reals R. Com els nombres naturals, Z és un grup comptable infinit.

Els nombres enters formen el grup més petit i el conjunt més petit dels nombres naturals. En la teoria de nombres algebraics, els números enters són cridats a vegades sencers irracionals per distingir-los dels enters algebraics.

- Nombres racionals

El conjunt de nombres racionals és representat per la lletra (Q) i inclouen a tots aquells nombres que poden ser escrits com una fracció de nombres enters.

És a dir, aquest conjunt inclou nombres naturals (4/1), nombres enters (-4/1) i nombres decimals exactes (15,50 = 1550/100).

La repartició de 1/6 de el formatge és un nombre racional.

L'expansió decimal d'un nombre racional sempre acaba després d'un nombre finit de dígits (ex: 15,50) o quan es comença a repetir la mateixa seqüència finita de dígits cop i un altre (ex:,3456666666666666…). Per això, dins del conjunt de nombres racionals s'inclouen els nombres. periòdics purs o periòdics mixtos.

Addicionalment, qualsevol decimal repetit o terminal representa un nombre racional. Aquestes declaracions són veritables no només per a la base 10, sinó també per a qualsevol altra base de nombre sencer.

Un nombre real que no és racional és anomenat irracional. Els nombres irracionals inclouen a la √2, a π i e, per exemple. Ja que tot el conjunt de nombres racionals és numerable, i que el grup de nombres reals no és numerable, es pot dir que gairebé tots els nombres reals són irracionals.

Els nombres racionals poden ser formalment definits com classes d'equivalències de parells d'enters (p, q) de manera que q ≠ 0 o la relació equivalent definida per (p1, q1) (p2, q2) només si p1, q2 = p2q1.

Els nombres racionals, juntament amb la suma i la multiplicació, formen camps que componen els nombres enters i són continguts per qualsevol branca que contingui sencers.

- Nombres irracionals

Els nombres irracionals són tots els nombres reals que no són nombres racionals; els nombres irracionals no poden ser expressats com a fraccions. Els nombres racionals són els nombres compostos de fraccions de nombres enters.

Com a conseqüència de la prova de Cantor que diu que tots els nombres reals són no numerables i que els racionals si són numerables, es pot concloure que gairebé tots els nombres reals són irracionals.

Quan el radi de longitud de dos segments de línia és un nombre irracional, es pot dir que aquests segments de línia són incommensurables; significant que no hi ha una longitud suficient de manera que cadascuna d'elles pogués ser "mesura" amb un sencer particular múltiple d'ell mateix.

Entre els nombres irracionals estan el radi π d'una circumferència de cercle al seu diàmetre, el nombre d'Euler (e), el nombre auri (φ) i l'arrel quadrada de dos; encara més, totes les arrels quadrades dels nombres naturals són irracionals. L'única excepció a aquesta regla són els quadrats perfectes.

Es pot observar que quan els nombres irracionals són expressats de manera posicional en un sistema numeral, (com per exemple en els nombres decimals) no acaben o es repeteixen.

Això vol dir que no contenen una seqüència de dígits, la repetició per la qual es fa una línia de la representació.

Simplificació de l'nombre irracional pi.

Per exemple: la representació decimal d'el nombre π comença amb 3.14159265358979, però no hi ha un nombre finit de dígits que puguin representar π de manera exacta, ni que es puguin repetir.

La prova que l'expansió decimal d'un nombre racional ha d'acabar o repetir és diferent de la prova que una extensió decimal ha de ser un nombre racional; encara que bàsiques i una mica llargues, aquestes proves prenen una mica de treball.

Usualment els matemàtics no prenen generalment la noció de "acabant o repetint" per definir el concepte d'un nombre racional.

Els nombres irracionals també poden ser tractats via fraccions no contínues.

referències

1. Classifyng real numbers. Recuperat de chilimath.com.
2. Natural number. Recuperat de wikipedia.org.
3. Classificació dels nombres. Recuperat de ditutor.com.
4. Recuperat de wikipedia.org.
5. Irrational number. Recuperat de wikipedia.org.