XOCS ELÀSTICS: EN UNA DIMENSIÓ, CASOS ESPECIALS, EXERCICIS - FÍSICA - 2025

Els xocs elàstics o col·lisions elàstiques consisteixen en interaccions breus però intenses entre objectes, en les quals tant la quantitat de moviment com l'energia cinètica es conserven. Els xocs són successos molt freqüents en la natura: des de partícules subatòmiques fins a galàxies, passant per boles de billar i actuacions de xoc en els parcs d'atraccions, tots són objectes capaços de xocar.

Durant una col·lisió o xoc, les forces d'interacció entre els objectes són molt intenses, molt més que les que puguin actuar externament. D'aquesta manera es pot afirmar que durant la col·lisió, les partícules formen un sistema aïllat.

Les col·lisions entre boles de billar poden considerar elàstiques. Font: Pixabay.

En aquest cas es compleix que:

La quantitat de moviment P _o abans de la col·lisió és la mateixa que després de la col·lisió. Això es compleix per a qualsevol tipus col·lisió, tant elàstica com inelàstica.

Ara cal considerar el següent: durant una col·lisió els objectes experimenten una certa deformació. Quan el xoc és elàstic, els objectes recobren ràpidament la seva forma original.

Conservació de l'energia cinètica

Normalment durant un xoc part de l'energia dels objectes es gasta en calor, deformació, so i en ocasions fins a produir llum. Així que l'energia cinètica de el sistema després de la col·lisió és menor que l'energia cinètica original.

Quan l'energia cinètica K, es conserva llavors:

La qual cosa significa que les forces que actuen durant la col·lisió són conservatives. Mentre dura la col·lisió l'energia cinètica es transforma breument en energia potencial i després torna a ser energia cinètica. Les energies cinètiques respectives varien, però la suma es manté constant.

Les col·lisions perfectament elàstiques no són freqüents, encara que les boles de billar són una aproximació bastant bona, així com les col·lisions que tenen lloc entre les molècules dels gasos ideals.

Xocs elàstics en una dimensió

Examinem una col·lisió de dues partícules d'aquest en una sola dimensió; és a dir, les partícules que interactuen es mouen, diguem, al llarg de l'eix x. Suposem que tenen masses m ₁ i m ₂. Les velocitats inicials de cadascuna són o ₁ i u ₂ respectivament. Les velocitats finals són v ₁ i v ₂.

Podem prescindir de la notació vectorial, ja que el moviment es realitza al llarg de l'eix x, però, els signes (-) i (+) indiquen el sentit de el moviment. A l'esquerra és negatiu ia la dreta positiu, per convenció.

Fórmules per a les col·lisions elàstiques

Per la quantitat de moviment

Per a l'energia cinètica

Sempre que es coneguin les masses i les velocitats inicials, és possible reagrupar les equacions per trobar les velocitats finals.

El problema és que en principi, cal dur a terme una mica d'àlgebra bastant tediosa, ja que les equacions per a l'energia cinètica contenen els quadrats de les velocitats, la qual cosa fa una mica molest el càlcul. L'ideal seria trobar expressions que no en continguin.

El primer és prescindir d'el factor ½ i reordenar les dues equacions de tal manera que aparegui un signe negatiu i les masses es puguin factoritzar:

Quedant expressades d'aquesta manera:

Simplificació per eliminar els quadrats de les velocitats

Ara cal fer ús de l'producte notable suma per la seva diferència en la segona equació, amb la qual cosa s'obté una expressió que no conté els quadrats, tal com es volia originalment:

El següent pas és substituir la primera equació en la segona:

I a l'estar repetit el terme m ₂ (v ₂ - o ₂) a banda i banda de la igualtat dit terme es cancel·la i queda així:

O encara millor:

Velocitats finals v

Ara es disposa de dues equacions lineals amb les que és més fàcil treballar. Les tornarem a posar una sota l'altra:

Multiplicant la segona equació per m ₁ i sumant terme a terme queda:

I ja és possible aclarir v ₂. Per exemple:

Casos especials en les col·lisions elàstiques

Ara que es disposa d'equacions per a les velocitats finals de les dues partícules, és hora d'analitzar algunes situacions especials.

Dues masses idèntiques

En aquest cas m ₁ = m ₂ = mi:

Les partícules simplement intercanvien les seves velocitats després de la col·lisió.

Dues masses idèntiques, una de les quals estava inicialment en repòs

Novament m ₁ = m ₂ = mi suposant que o ₁ = 0:

Després de l'xoc la partícula que estava en repòs adquireix la mateixa velocitat de la partícula que es venia movent, i aquesta al seu torn s'atura.

Dues masses diferents, una d'elles inicialment en repòs

En aquest cas suposem que o ₁ = 0, però les masses són diferents:

Què passa si m ₁ és molt més gran que m ₂ ?

Passa que m ₁ segueix en repòs i m ₂ es torna amb la mateixa rapidesa amb la qual va impactar.

Coeficient de restitució o regla de Huygens-Newton

Anteriorment es va deduir la següent relació entre les velocitats per dos objectes en col·lisió elàstica: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Aquestes diferències són les velocitats relatives abans i després de la col·lisió. En general, per una col·lisió es compleix que:

El concepte de velocitat relativa s'aprecia millor si el lector imagina que està sobre una de les partícules i des d'aquesta posició s'observa la velocitat amb que l'altra partícula es mou. L'equació anterior es reescriu així:

exercicis resolts

-Exercici resolt 1

Una bola de billar es mou cap a l'esquerra a 30 cm / s, col·lisionant de front amb una altra bola idèntica que es mou cap a la dreta a 20 cm / s. Les dues boles tenen la mateixa massa i el xoc és perfectament elàstic. Trobar la velocitat de cada bola després de l'impacte.

solució

o ₁ = -30 cm / s

o ₂ = + 20 cm / s

Es tracta del cas especial en què dues masses idèntiques col·lisionen en una dimensió elàsticament, per tant les velocitats s'intercanvien.

v ₁ = + 20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Exercici resolt 2

El coeficient de restitució d'una pilota que rebota a terra és igual a 0,82. Si cau des del repòs, quina fracció de la seva alçada original arribarà la pilota després de rebotar una vegada? I després de 3 rebots?

Una pilota rebota contra una superfície ferma i va perdent alçada amb cada rebot. Font: elaboració pròpia.

solució

El sòl pot ser l'objecte 1 a la equació de el coeficient de restitució. I sempre queda en repòs, de manera que:

Amb aquesta velocitat rebota:

El signe + indica que es tracta d'una velocitat ascendent. I d'acord amb ella, la pilota arriba a una alçada màxima de:

Ara torna a terra de nou amb velocitat d'igual magnitud, però signe contrari:

Amb això aconsegueix una altura màxima de:

Arriba de nou a terra amb:

rebots successius

Cada vegada que la pilota rebota i puja cal multiplicar la velocitat de nou per 0.82:

A hores d'ara h ₃ és aproximadament el 30% de h _o. Quina seria l'altura a l'6è rebot sense necessitat de fer càlculs tan detallats com els anteriors?

Seria h ₆ = 0.82 ¹² h _o = 0.092h _o o tot just el 9% de h _o.

-Exercici resolt 3

Un bloc de 300 g es mou cap al nord a 50 cm / si xoca contra un bloc de 200 g que es dirigeix ​​cap al sud a 100 cm / s. Supose que el xoc és perfectament elàstic. Trobi les velocitats després de l'impacte.

dades

m ₁ = 300 g; o ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; o ₂ = -100 cm / s

-Exercici resolt abril

S'allibera una massa de m ₁ = 4 kg des del punt indicat sobre la pista sense fricció, fins que topa amb m ₂ = 10 kg en repòs. Fins que altura s'eleva m ₁ després de la col·lisió?

solució

Com que no hi ha fregament, es conserva l'energia mecànica per trobar la velocitat o ₁ amb què m ₁ impacta am _2. Inicialment l'energia cinètica és 0, ja que m ₁ part de l'repòs. Quan es mou sobre la superfície horitzontal no té altura, per la qual cosa l'energia potencial és 0.

Ara es calcula la velocitat de m ₁ després de la col·lisió:

El signe negatiu vol dir que s'ha retornat. Amb aquesta velocitat ascendeix i es conserva l'energia mecànica de nou per trobar h ', l'altura a la qual aconsegueix ascendir després de l'xoc:

Cal observar que no torna a punt de partida a 8 m alçada. No té energia suficient perquè va cedir part de la seva energia cinètica la massa m _1.

referències

1. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6 ^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fonaments de Física. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fonaments de Física. 9 ^na Cengage Learning. 172 -182
4. Tipler, P. (2006) Física per a la Ciència i la Tecnologia. 5a Ed. Volum 1. Editorial Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Física: Conceptes i Aplicacions. 7dt Edició. MacGraw Hill. 185 -195